Номер 294, страница 240 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Функции и их свойства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 294, страница 240.

294. Парабола $y = ax^2 + bx + c$ имеет вершину в точке $M(1; -1)$ и проходит через точку $K(-2; 3)$. Найдите значения коэффициентов $a, b$ и $c$.

Для решения задачи воспользуемся уравнением параболы, записанным через координаты ее вершины $(x_v; y_v)$: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$

Из условия известно, что вершина параболы находится в точке $M(1; -1)$. Подставим координаты вершины в формулу: $x_v = 1$
$y_v = -1$
$y = a(x - 1)^2 - 1$

Теперь у нас есть уравнение параболы с одним неизвестным коэффициентом $a$. Чтобы найти его, используем второе условие: парабола проходит через точку $K(-2; 3)$. Подставим координаты точки $K$ в наше уравнение, то есть заменим $x$ на $-2$ и $y$ на $3$: $3 = a(-2 - 1)^2 - 1$

Решим полученное уравнение относительно $a$: $3 = a(-3)^2 - 1$
$3 = 9a - 1$
$4 = 9a$
$a = \frac{4}{9}$

Мы нашли коэффициент $a$. Теперь, чтобы найти коэффициенты $b$ и $c$, нужно привести уравнение $y = \frac{4}{9}(x - 1)^2 - 1$ к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$. Для этого раскроем скобки и упростим выражение: $y = \frac{4}{9}(x^2 - 2x + 1) - 1$
$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{4}{9} \cdot 2x + \frac{4}{9} \cdot 1 - 1$
$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{8}{9}x + \frac{4}{9} - 1$
$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{8}{9}x + \frac{4}{9} - \frac{9}{9}$
$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{8}{9}x - \frac{5}{9}$

Сравнивая полученное уравнение с уравнением в общем виде $y = ax^2 + bx + c$, находим искомые коэффициенты.

Ответ: $a = \frac{4}{9}$, $b = -\frac{8}{9}$, $c = -\frac{5}{9}$.