Номер 297, страница 241 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Функции и их свойства - номер 297, страница 241.

Учебник.

297. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^6$ на промежутке:

1) $[0; 2]$;

2) $[-2; -1]$;

3) $[-2; 2]$.

Решение 2.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^6$ на замкнутом промежутке $[a, b]$, необходимо вычислить значения функции на концах этого промежутка и в критических точках, принадлежащих ему, а затем выбрать самое большое и самое маленькое из полученных значений.

Сначала найдем производную функции для определения критических точек.

$y' = (x^6)' = 6x^5$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки: $6x^5 = 0$, что дает нам единственную критическую точку $x = 0$.

1) На промежутке $[0; 2]$

Критическая точка $x=0$ является левой границей данного промежутка. Следовательно, для нахождения наибольшего и наименьшего значений достаточно вычислить значения функции на концах этого промежутка, то есть в точках $x=0$ и $x=2$.

$y(0) = 0^6 = 0$

$y(2) = 2^6 = 64$

Сравнивая эти два значения, видим, что наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее — 64.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 64.

2) На промежутке $[-2; -1]$

Критическая точка $x=0$ не принадлежит этому промежутку. Значит, наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах промежутка. Вычислим значения функции в точках $x=-2$ и $x=-1$.

$y(-2) = (-2)^6 = 64$

$y(-1) = (-1)^6 = 1$

Следовательно, наименьшее значение функции на данном отрезке равно 1, а наибольшее — 64.

Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 64.

3) На промежутке $[-2; 2]$

Критическая точка $x=0$ принадлежит этому промежутку. Поэтому мы должны вычислить значение функции в этой точке, а также на концах промежутка, то есть в точках $x=-2$, $x=0$ и $x=2$.

$y(-2) = (-2)^6 = 64$

$y(0) = 0^6 = 0$

$y(2) = 2^6 = 64$

Среди полученных значений $\{64, 0, 64\}$ наименьшее равно 0, а наибольшее равно 64.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 64.