Номер 303, страница 241 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Функции и их свойства - номер 303, страница 241.

Учебник.

303. Какой из графиков, изображённых на рисунке 11, является графиком обратимой функции?

Рис. 11

а

График с осями $x$, $y$ и началом координат $0$.

б

График с осями $x$, $y$ и началом координат $0$.

в

График с осями $x$, $y$ и началом координат $0$, отмечены точки с координатами $x=-1$, $y=3$ и $x=4$, $y=3$.

Решение 2.

Для того чтобы определить, является ли функция обратимой по ее графику, необходимо проверить, является ли она взаимно-однозначной (или инъективной). Функция является взаимно-однозначной, если каждому значению из ее области значений соответствует ровно одно значение из ее области определения.

Существует простой графический метод проверки этого свойства, известный как тест горизонтальной линии. Если любая горизонтальная линия пересекает график функции не более чем в одной точке, то функция является обратимой. Если можно провести хотя бы одну горизонтальную линию, которая пересекает график более чем в одной точке, функция не является обратимой.

Рассмотрим каждый из предложенных графиков:

а

На графике а изображена строго монотонно убывающая функция. При проведении любой горизонтальной линии она пересечет график ровно в одной точке. Это означает, что для любого значения $y$ из области значений функции существует единственное значение $x$ из области определения такое, что $y = f(x)$. Следовательно, функция является взаимно-однозначной и обратимой.

Ответ: является графиком обратимой функции.

б

На графике б изображена парабола. Можно провести горизонтальную прямую (например, ось абсцисс $y=0$), которая пересечет график в двух точках. Это показывает, что существуют два разных значения аргумента (в данном случае $x_1$ и $x_2$, где $x_1 = -x_2 \neq 0$), которым соответствует одно и то же значение функции ($f(x_1) = f(x_2)$). Функция не удовлетворяет тесту горизонтальной линии, не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой.

Ответ: не является графиком обратимой функции.

в

На графике в показана функция, определенная всего в двух точках: $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$. В обеих точках функция принимает одно и то же значение: $f(-1) = 3$ и $f(4) = 3$. Поскольку разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, она не является взаимно-однозначной. Горизонтальная прямая $y=3$ пересекает график в двух точках. Таким образом, эта функция не является обратимой.

Ответ: не является графиком обратимой функции.