Страница 241 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

295. Найдите наименьшее значение функции $y = 1.5x^2 - 6x + 1$ на промежутке:

1) $[-4; 1]$;

2) $[-3; 1]$;

3) $[4; 6]$.

Данная функция $y = 1,5x^2 - 6x + 1$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 1,5) положителен. Это означает, что наименьшее значение на всей числовой прямой функция принимает в своей вершине.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1,5} = \frac{6}{3} = 2$.

Ордината вершины (наименьшее значение функции на всей области определения) равна:

$y_0 = y(2) = 1,5 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 1 = 1,5 \cdot 4 - 12 + 1 = 6 - 12 + 1 = -5$.

Теперь найдем наименьшее значение функции на каждом из заданных промежутков. Для этого нужно сравнить значения функции на концах промежутка и в точке вершины, если она попадает в этот промежуток.

1) [-4; 1]

Вершина параболы $x_0 = 2$ не принадлежит промежутку $[-4; 1]$. Так как ветви параболы направлены вверх, а вершина находится правее данного промежутка ($2 > 1$), то на отрезке $[-4; 1]$ функция является монотонно убывающей. Следовательно, свое наименьшее значение она будет принимать на правом конце промежутка, то есть в точке $x = 1$.

Найдем значение функции в этой точке:

$y(1) = 1,5 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 1 = 1,5 - 6 + 1 = -3,5$.

Для проверки найдем значение на левом конце промежутка:

$y(-4) = 1,5 \cdot (-4)^2 - 6 \cdot (-4) + 1 = 1,5 \cdot 16 + 24 + 1 = 24 + 24 + 1 = 49$.

Наименьшее значение на отрезке $[-4; 1]$ равно -3,5.

Ответ: -3,5

2) [-3; 1]

Вершина параболы $x_0 = 2$ также не принадлежит промежутку $[-3; 1]$. Аналогично первому случаю, функция на этом отрезке является убывающей, и наименьшее значение достигается в точке $x = 1$.

Значение функции в этой точке мы уже вычислили:

$y(1) = -3,5$.

Найдем значение на левом конце промежутка:

$y(-3) = 1,5 \cdot (-3)^2 - 6 \cdot (-3) + 1 = 1,5 \cdot 9 + 18 + 1 = 13,5 + 18 + 1 = 32,5$.

Наименьшее значение на отрезке $[-3; 1]$ равно -3,5.

Ответ: -3,5

3) [4; 6]

Вершина параболы $x_0 = 2$ не принадлежит промежутку $[4; 6]$. Так как ветви параболы направлены вверх, а вершина находится левее данного промежутка ($2 < 4$), то на отрезке $[4; 6]$ функция является монотонно возрастающей. Следовательно, свое наименьшее значение она будет принимать на левом конце промежутка, то есть в точке $x = 4$.

Найдем значение функции в этой точке:

$y(4) = 1,5 \cdot 4^2 - 6 \cdot 4 + 1 = 1,5 \cdot 16 - 24 + 1 = 24 - 24 + 1 = 1$.

Найдем значение на правом конце промежутка для сравнения:

$y(6) = 1,5 \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 + 1 = 1,5 \cdot 36 - 36 + 1 = 54 - 36 + 1 = 19$.

Наименьшее значение на отрезке $[4; 6]$ равно 1.

Ответ: 1

296. При каком значении c наибольшее значение функции $y = -4x^2 + 8x + c$ равно -6?

Данная функция $y = -4x^2 + 8x + c$ является квадратичной. Ее график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -4 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ можно найти по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

В нашем случае коэффициенты равны $a = -4$ и $b = 8$. Найдем абсциссу (координату $x$) вершины:

$x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-4)} = -\frac{8}{-8} = 1$

Теперь найдем ординату (координату $y$) вершины, которая и является наибольшим значением функции. Для этого подставим $x_0 = 1$ в уравнение функции:

$y_0 = -4(1)^2 + 8(1) + c$

$y_0 = -4 \cdot 1 + 8 + c$

$y_0 = -4 + 8 + c$

$y_0 = 4 + c$

По условию задачи, наибольшее значение функции равно $-6$. Следовательно, мы можем приравнять полученное выражение для $y_0$ к $-6$:

$4 + c = -6$

Решим это уравнение, чтобы найти $c$:

$c = -6 - 4$

$c = -10$

Ответ: $c = -10$.

297. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^6$ на промежутке:

1) $[0; 2]$;

2) $[-2; -1]$;

3) $[-2; 2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^6$ на замкнутом промежутке $[a, b]$, необходимо вычислить значения функции на концах этого промежутка и в критических точках, принадлежащих ему, а затем выбрать самое большое и самое маленькое из полученных значений.

Сначала найдем производную функции для определения критических точек.

$y' = (x^6)' = 6x^5$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки: $6x^5 = 0$, что дает нам единственную критическую точку $x = 0$.

1) На промежутке $[0; 2]$

Критическая точка $x=0$ является левой границей данного промежутка. Следовательно, для нахождения наибольшего и наименьшего значений достаточно вычислить значения функции на концах этого промежутка, то есть в точках $x=0$ и $x=2$.

$y(0) = 0^6 = 0$

$y(2) = 2^6 = 64$

Сравнивая эти два значения, видим, что наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее — 64.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 64.

2) На промежутке $[-2; -1]$

Критическая точка $x=0$ не принадлежит этому промежутку. Значит, наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах промежутка. Вычислим значения функции в точках $x=-2$ и $x=-1$.

$y(-2) = (-2)^6 = 64$

$y(-1) = (-1)^6 = 1$

Следовательно, наименьшее значение функции на данном отрезке равно 1, а наибольшее — 64.

Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 64.

3) На промежутке $[-2; 2]$

Критическая точка $x=0$ принадлежит этому промежутку. Поэтому мы должны вычислить значение функции в этой точке, а также на концах промежутка, то есть в точках $x=-2$, $x=0$ и $x=2$.

$y(-2) = (-2)^6 = 64$

$y(0) = 0^6 = 0$

$y(2) = 2^6 = 64$

Среди полученных значений $\{64, 0, 64\}$ наименьшее равно 0, а наибольшее равно 64.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 64.

298. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{-3}$ на промежутке:

1) $[ \frac{1}{3}; 1 ]$;

2) $[-2; -1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^{-3}$ на заданных промежутках, сначала проанализируем саму функцию. Функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x^3}$.

Для определения интервалов монотонности функции найдем ее производную:

$y' = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.

Так как $x^4$ всегда больше нуля при любом $x \neq 0$, значение производной $y'$ всегда отрицательно на всей области определения функции $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$. Это означает, что функция $y = x^{-3}$ является строго убывающей на каждом из этих интервалов.

Если функция непрерывна и монотонно убывает на замкнутом промежутке $[a, b]$, то свое наибольшее значение она принимает в левой крайней точке $x = a$, а наименьшее — в правой крайней точке $x = b$.

1) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $[\frac{1}{3}; 1]$.

Этот промежуток входит в область $(0; \infty)$, где функция убывает. Следовательно, наибольшее значение будет в точке $x = \frac{1}{3}$, а наименьшее — в точке $x = 1$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^{-3} = 3^3 = 27$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = 1^{-3} = \frac{1}{1^3} = 1$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 27, наименьшее значение равно 1.

2) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $[-2; -1]$.

Этот промежуток входит в область $(-\infty; 0)$, где функция также убывает. Следовательно, наибольшее значение будет в точке $x = -2$, а наименьшее — в точке $x = -1$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = (-1)^{-3} = \frac{1}{(-1)^3} = \frac{1}{-1} = -1$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $-\frac{1}{8}$, наименьшее значение равно -1.

299. Даны функции $f(x) = x - 3$, $g(x) = (\sqrt{x-3})^2$ и $h(x) = \sqrt{(x-3)^2}$. Графики каких из этих функций совпадают?

Для того чтобы определить, графики каких функций совпадают, необходимо сравнить эти функции. Две функции считаются тождественно равными (и, следовательно, их графики совпадают) только в том случае, если у них совпадают области определения и для любого значения аргумента из этой области значения функций равны. Проанализируем каждую из заданных функций.

Анализ функции $f(x)$

Функция задана формулой $f(x) = x - 3$. Это линейная функция. Областью определения линейной функции является множество всех действительных чисел.
Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Графиком функции является прямая линия.

Анализ функции $g(x)$

Функция задана формулой $g(x) = (\sqrt{x - 3})^2$. Область определения этой функции находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$
Область определения: $D(g) = [3; +\infty)$.
На своей области определения функция упрощается: $g(x) = (\sqrt{x - 3})^2 = x - 3$.
Графиком функции является луч, исходящий из точки $(3, 0)$.

Анализ функции $h(x)$

Функция задана формулой $h(x) = \sqrt{(x - 3)^2}$. Выражение под корнем, $(x - 3)^2$, является неотрицательным при любом действительном значении $x$, так как это квадрат действительного числа.
Область определения: $D(h) = (-\infty; +\infty)$.
Для упрощения функции используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$:
$h(x) = \sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3|$.
Графиком функции является "галочка" (V-образная линия), состоящая из двух лучей с общей начальной точкой в $(3, 0)$.

Сравнение функций и их графиков

1. Сравним $f(x)$ и $g(x)$.
Области определения этих функций различны: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, а $D(g) = [3; +\infty)$. Поскольку области определения не совпадают, функции не являются тождественно равными, и их графики не совпадают. График функции $g(x)$ является частью графика функции $f(x)$ (лучом, а не всей прямой).

2. Сравним $f(x)$ и $h(x)$.
Области определения этих функций совпадают: $D(f) = D(h) = (-\infty; +\infty)$. Однако сами функции не равны. $f(x) = x - 3$, а $h(x) = |x - 3|$.
Например, при $x = 0$:
$f(0) = 0 - 3 = -3$
$h(0) = |0 - 3| = |-3| = 3$
Поскольку $f(0) \neq h(0)$, функции не равны, и их графики не совпадают.

3. Сравним $g(x)$ и $h(x)$.
Области определения этих функций различны: $D(g) = [3; +\infty)$, а $D(h) = (-\infty; +\infty)$. Следовательно, функции не равны, и их графики не совпадают.

Таким образом, ни одна из пар функций не является тождественно равной.
Ответ: Среди данных функций нет таких, графики которых совпадают.

300. На рисунке 9 изображён график линейной функции $y = ax + b$. Укажите верное утверждение:

1) $k > 0, b > 0;$

2) $k > 0, b < 0;$

3) $k < 0, b > 0;$

4) $k < 0, b < 0.$

Для того чтобы выбрать верное утверждение, необходимо проанализировать график линейной функции $y = ax + b$. В вариантах ответа используется коэффициент $k$, который в общем уравнении прямой $y=kx+b$ является угловым коэффициентом. Будем считать, что в данном задании $a = k$.

Определение знака коэффициента $k$
Угловой коэффициент $k$ отвечает за наклон прямой. Если функция убывает (прямая идет вниз при движении слева направо), то ее угловой коэффициент отрицателен. Если функция возрастает (прямая идет вверх), то коэффициент положителен. На графике, к которому относится данное задание, изображена прямая, которая идет вниз. Следовательно, функция убывает, и ее угловой коэффициент $k$ отрицателен: $k < 0$.

Определение знака коэффициента $b$
Коэффициент $b$ (свободный член) равен ординате точки пересечения графика функции с осью $Oy$. Если точка пересечения находится выше оси $Ox$ (выше начала координат), то $b > 0$. Если ниже — то $b < 0$. На рассматриваемом графике прямая пересекает ось $Oy$ в точке с положительной ординатой. Следовательно, $b > 0$.

Вывод
Итак, мы установили, что для данной линейной функции выполняются условия $k < 0$ и $b > 0$.
Сравним этот вывод с предложенными вариантами ответа:
1) $k > 0, b > 0$ — неверно.
2) $k > 0, b < 0$ — неверно.
3) $k < 0, b > 0$ — верно.
4) $k < 0, b < 0$ — неверно.
Таким образом, верное утверждение указано под номером 3.

Ответ: 3

301. На рисунке 10 изображён график функции $y = a\sqrt{x} + b$. Укажите верное утверждение:

1) $a > 0, b > 0;$

2) $a > 0, b < 0;$

3) $a < 0, b > 0;$

4) $a < 0, b < 0.$

Рис. 9

a

б

Рис. 10

Проанализируем график функции $y = a\sqrt{x} + b$, который показан на рисунке 10, для определения знаков коэффициентов $a$ и $b$.

1. Определение знака коэффициента $b$.
Коэффициент $b$ в уравнении функции определяет сдвиг графика по вертикали. Чтобы найти его, подставим в уравнение функции значение $x=0$. Получим $y(0) = a\sqrt{0} + b = b$. Это значение соответствует точке пересечения графика с осью ординат ($Oy$).
На рисунке 10 видно, что график пересекает ось $Oy$ в точке с отрицательной ординатой (ниже оси $Ox$). Следовательно, $y(0) < 0$, что означает $b < 0$.

2. Определение знака коэффициента $a$.
Коэффициент $a$ отвечает за направление "ветви" графика. График основной функции $y = \sqrt{x}$ является возрастающим (с увеличением $x$ значение $y$ растет).
Если коэффициент $a$ положителен ($a > 0$), то функция $y = a\sqrt{x}$ также будет возрастающей.
Если коэффициент $a$ отрицателен ($a < 0$), то график функции отражается симметрично относительно оси абсцисс, и функция $y = a\sqrt{x}$ становится убывающей.
На представленном графике функция является убывающей, так как с ростом $x$ значения $y$ уменьшаются. Это возможно только при отрицательном коэффициенте $a$. Таким образом, $a < 0$.

Исходя из анализа, мы пришли к выводу, что оба коэффициента отрицательны: $a < 0$ и $b < 0$. Это соответствует четвертому варианту утверждения.

Ответ: 4

302. Вершина параболы $y = (x+a)^2+b$ лежит в третьей координатной четверти. Укажите верное утверждение:

1) $a > 0, b > 0;$

2) $a > 0, b < 0;$

3) $a < 0, b > 0;$

4) $a < 0, b < 0.$

Уравнение параболы $y = (x + a)^2 + b$ представлено в вершинной форме. Общий вид такого уравнения $y = k(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v, y_v)$ — это координаты вершины параболы.

Сравнивая заданное уравнение с общей формой, определим координаты вершины.Абсцисса вершины $x_v$ находится из соотношения $x - x_v = x + a$, из которого следует, что $x_v = -a$.Ордината вершины $y_v$ равна $b$.Таким образом, вершина параболы имеет координаты $(-a, b)$.

В условии сказано, что вершина параболы лежит в третьей координатной четверти. Для любой точки $(x, y)$, расположенной в третьей четверти, обе её координаты должны быть отрицательными, то есть $x < 0$ и $y < 0$.

Применяя это правило к координатам вершины $(-a, b)$, мы получаем систему из двух неравенств:$ \begin{cases} -a < 0 \\ b < 0 \end{cases}$

Теперь решим эту систему.Из первого неравенства $-a < 0$, умножив обе его части на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный, получаем $a > 0$.Второе неравенство $b < 0$ уже даёт нам условие для $b$.

Следовательно, для того чтобы вершина параболы находилась в третьей координатной четверти, должны выполняться условия $a > 0$ и $b < 0$.

Среди предложенных вариантов ответа этому результату соответствует вариант под номером 2.

Ответ: 2) $a > 0, b < 0;$

303. Какой из графиков, изображённых на рисунке 11, является графиком обратимой функции?

Рис. 11

а

График с осями $x$, $y$ и началом координат $0$.

б

График с осями $x$, $y$ и началом координат $0$.

в

График с осями $x$, $y$ и началом координат $0$, отмечены точки с координатами $x=-1$, $y=3$ и $x=4$, $y=3$.

Для того чтобы определить, является ли функция обратимой по ее графику, необходимо проверить, является ли она взаимно-однозначной (или инъективной). Функция является взаимно-однозначной, если каждому значению из ее области значений соответствует ровно одно значение из ее области определения.

Существует простой графический метод проверки этого свойства, известный как тест горизонтальной линии. Если любая горизонтальная линия пересекает график функции не более чем в одной точке, то функция является обратимой. Если можно провести хотя бы одну горизонтальную линию, которая пересекает график более чем в одной точке, функция не является обратимой.

Рассмотрим каждый из предложенных графиков:

а

На графике а изображена строго монотонно убывающая функция. При проведении любой горизонтальной линии она пересечет график ровно в одной точке. Это означает, что для любого значения $y$ из области значений функции существует единственное значение $x$ из области определения такое, что $y = f(x)$. Следовательно, функция является взаимно-однозначной и обратимой.

Ответ: является графиком обратимой функции.

б

На графике б изображена парабола. Можно провести горизонтальную прямую (например, ось абсцисс $y=0$), которая пересечет график в двух точках. Это показывает, что существуют два разных значения аргумента (в данном случае $x_1$ и $x_2$, где $x_1 = -x_2 \neq 0$), которым соответствует одно и то же значение функции ($f(x_1) = f(x_2)$). Функция не удовлетворяет тесту горизонтальной линии, не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой.

Ответ: не является графиком обратимой функции.

в

На графике в показана функция, определенная всего в двух точках: $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$. В обеих точках функция принимает одно и то же значение: $f(-1) = 3$ и $f(4) = 3$. Поскольку разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, она не является взаимно-однозначной. Горизонтальная прямая $y=3$ пересекает график в двух точках. Таким образом, эта функция не является обратимой.

Ответ: не является графиком обратимой функции.