Страница 248 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

371. На одном из рисунков 12, а–г изображён график функции $y = 0.2^{-x}$. Укажите этот рисунок.

Рис. 12

а

б

в

г

Для того чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = 0.2^{-x}$, преобразуем данное функциональное выражение.

Представим десятичную дробь $0.2$ в виде обыкновенной дроби: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Тогда функция примет вид: $y = \left(\frac{1}{5}\right)^{-x}$.

Используя свойство степеней $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$, получим:

$y = \left(\frac{1}{5}\right)^{-x} = \left(\frac{5}{1}\right)^{x} = 5^x$.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти график показательной функции $y = 5^x$.

Проанализируем ключевые свойства функции $y = 5^x$:

• Это показательная функция вида $y=a^x$, где основание $a=5$.
• Поскольку основание $a = 5 > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.
• При любом значении $x$, значение $y = 5^x$ всегда будет положительным ($y>0$). Это означает, что график функции полностью лежит выше оси абсцисс (оси Ox).
• Найдем точку пересечения графика с осью ординат (осью Oy), подставив $x=0$: $y = 5^0 = 1$. Следовательно, график проходит через точку с координатами $(0, 1)$.

Теперь сравним эти свойства с предложенными на рисунках графиками:

• Графики в и г расположены ниже оси Ox, что соответствует отрицательным значениям функции. Это противоречит свойству $y > 0$, поэтому они не подходят.
• Графики а и б расположены выше оси Ox и оба проходят через точку $(0, 1)$.
• График а является графиком возрастающей функции (при увеличении $x$ кривая идет вверх).
• График б является графиком убывающей функции (при увеличении $x$ кривая идет вниз).

Так как функция $y = 5^x$ является возрастающей, ей соответствует график, изображенный на рисунке а.

Ответ: а

372. На одном из рисунков 13, а–г изображён график функции $y = e^x - 1$. Укажите этот рисунок.

Рис. 13

a

б

в

г

Чтобы определить, какой из рисунков изображает график функции $y = e^x - 1$, проанализируем ключевые свойства этой функции и сравним их с представленными графиками.

Сначала найдем точку пересечения графика с осью ординат ($y$). Для этого подставим значение $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = e^0 - 1$

Поскольку любое число в нулевой степени равно 1, то $e^0 = 1$.

$y(0) = 1 - 1 = 0$

Таким образом, график функции должен проходить через начало координат — точку $(0, 0)$.

Рассмотрим предоставленные рисунки:

• На рисунке а график проходит через точку $(0, 0)$.
• На рисунке б график пересекает ось $y$ в точке $(0, 2)$.
• На рисунке в график пересекает ось $y$ в точке $(0, e)$.
• На рисунке г график пересекает ось $y$ в точке $(0, 1/e)$.

Уже на основе этого анализа можно заключить, что правильным является график на рисунке а.

Для дополнительной проверки найдем горизонтальную асимптоту графика. График функции $y = e^x - 1$ получен путем сдвига графика функции $y = e^x$ на 1 единицу вниз по оси $y$. Функция $y = e^x$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось абсцисс), так как при $x \to -\infty$ значение $e^x \to 0$. При сдвиге графика на 1 единицу вниз, асимптота также смещается и становится прямой $y = -1$.

На рисунке а как раз изображен график с горизонтальной асимптотой $y=-1$, что подтверждает наш вывод.

Ответ: а.

373. Какова область значений функции $f(x) = 9^x + 2$?

Для того чтобы найти область значений функции $f(x) = 9^x + 2$, необходимо определить множество всех возможных значений, которые может принимать $f(x)$.

1. В основе данной функции лежит показательная функция $y = 9^x$.

2. Известно, что показательная функция $y = a^x$ при $a > 1$ (в нашем случае основание $a = 9$, что больше 1) имеет область значений, состоящую из всех положительных действительных чисел. Это означает, что для любого действительного значения $x$ выражение $9^x$ всегда будет строго больше нуля.

Математически это записывается как неравенство:

$9^x > 0$

3. Исходная функция $f(x) = 9^x + 2$ получена путем прибавления константы 2 к функции $y = 9^x$. Это преобразование представляет собой сдвиг графика функции $y = 9^x$ на 2 единицы вверх по оси ординат.

4. Чтобы найти новую область значений, мы можем применить это преобразование к неравенству $9^x > 0$. Прибавим 2 к обеим частям неравенства:

$9^x + 2 > 0 + 2$

Это приводит нас к следующему:

$f(x) > 2$

Таким образом, значение функции $f(x)$ всегда строго больше 2. Область значений функции, обозначаемая как $E(f)$, представляет собой интервал от 2 до плюс бесконечности, не включая 2.

Ответ: $E(f) = (2; +\infty)$.

374. Известно, что $0,7^m > 0,7^n$. Сравните числа $m$ и $n$.

Для сравнения чисел $m$ и $n$ на основе неравенства $0,7^m > 0,7^n$, необходимо проанализировать свойства показательной функции $y = a^x$. Поведение этой функции зависит от значения ее основания $a$.

В данном случае основание степени равно $a = 0,7$.

Рассмотрим два основных случая для показательной функции:

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента (показателя степени) соответствует большее значение функции. То есть, из $x_1 > x_2$ следует $a^{x_1} > a^{x_2}$.
• Если основание $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента (показателя степени) соответствует меньшее значение функции. То есть, из $x_1 > x_2$ следует $a^{x_1} < a^{x_2}$. Соответственно, если $a^{x_1} > a^{x_2}$, то $x_1 < x_2$.

В нашем случае основание $a = 0,7$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, мы имеем дело с убывающей показательной функцией.

Поскольку функция $y = 0,7^x$ убывающая, а по условию $0,7^m > 0,7^n$, то для показателей степеней должно выполняться неравенство с противоположным знаком.

Таким образом, из $0,7^m > 0,7^n$ следует, что $m < n$.

Ответ: $m < n$.

375. Какая из данных функций не является возрастающей:

1) $y = e^x$;

2) $y = \pi^x$;

3) $y = \left(\frac{e}{2}\right)^x$;

4) $y = \left(\frac{\pi}{4}\right)^x$?

Показательная функция вида $y = a^x$ является возрастающей, если её основание $a$ больше 1 ($a > 1$). Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Если $a = 1$, функция постоянна.

Вопрос заключается в том, чтобы найти функцию, которая не является возрастающей. Это значит, что мы ищем функцию, у которой основание $a \le 1$. Рассмотрим каждый из предложенных вариантов.

1) $y = e^x$

Основание функции $a = e$. Число Эйлера $e$ приблизительно равно $2,718$. Поскольку $e > 1$, данная функция является возрастающей.

2) $y = \pi^x$

Основание функции $a = \pi$. Число $\pi$ приблизительно равно $3,141$. Поскольку $\pi > 1$, данная функция является возрастающей.

3) $y = \left(\frac{e}{2}\right)^x$

Основание функции $a = \frac{e}{2}$. Оценим его значение: $\frac{e}{2} \approx \frac{2,718}{2} = 1,359$. Поскольку $\frac{e}{2} > 1$, данная функция является возрастающей.

4) $y = \left(\frac{\pi}{4}\right)^x$

Основание функции $a = \frac{\pi}{4}$. Оценим его значение: $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3,141}{4} \approx 0,785$. Поскольку $0 < \frac{\pi}{4} < 1$, данная функция является убывающей, и, следовательно, не является возрастающей.

Ответ: 4

376. Решите уравнение:

1) $8^{-\frac{1}{x}} = \frac{1}{4}$;

2) $(0,75)^{x+1} = \frac{16}{9}$;

3) $\sqrt{125^{x-1}} = \sqrt[3]{25^{2-x}}$;

4) $\left(\frac{6}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{25}{36}\right)^x = \frac{125}{216}$;

5) $2^x \cdot 3^{2x} \cdot 5^x = 90^{3x-7}$;

6) $8 \cdot 7^{2x^2-x} - 7 \cdot 8^{2x^2-x} = 0$.

1) $8^{-\frac{1}{x}} = \frac{1}{4}$

Приведем обе части уравнения к основанию 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(2^3)^{-\frac{1}{x}} = \frac{1}{2^2}$

Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем:

$2^{-\frac{3}{x}} = 2^{-2}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели (при условии, что $x \neq 0$):

$-\frac{3}{x} = -2$

Умножим обе части на $-x$:

$3 = 2x$

$x = \frac{3}{2}$

Ответ: $x = \frac{3}{2}$

2) $(0,75)^{x+1} = \frac{16}{9}$

Преобразуем десятичную дробь 0,75 в обыкновенную: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

Уравнение принимает вид:

$(\frac{3}{4})^{x+1} = \frac{16}{9}$

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{3}{4}$. Заметим, что $16 = 4^2$ и $9 = 3^2$.

$\frac{16}{9} = \frac{4^2}{3^2} = (\frac{4}{3})^2$

Используя свойство $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$, получаем:

$(\frac{4}{3})^2 = (\frac{3}{4})^{-2}$

Теперь уравнение выглядит так:

$(\frac{3}{4})^{x+1} = (\frac{3}{4})^{-2}$

Приравниваем показатели степеней:

$x+1 = -2$

$x = -2 - 1$

$x = -3$

Ответ: $x = -3$

3) $\sqrt{125^{x-1}} = \sqrt[3]{25^{2-x}}$

Приведем обе части уравнения к основанию 5. Мы знаем, что $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$.

Представим корни в виде степеней: $\sqrt{a} = a^{1/2}$ и $\sqrt[3]{b} = b^{1/3}$.

Подставим это в уравнение:

$( (5^3)^{x-1} )^{1/2} = ( (5^2)^{2-x} )^{1/3}$

Упростим, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$5^{\frac{3(x-1)}{2}} = 5^{\frac{2(2-x)}{3}}$

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели:

$\frac{3(x-1)}{2} = \frac{2(2-x)}{3}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части на 6:

$3 \cdot 3(x-1) = 2 \cdot 2(2-x)$

$9(x-1) = 4(2-x)$

Раскроем скобки:

$9x - 9 = 8 - 4x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$9x + 4x = 8 + 9$

$13x = 17$

$x = \frac{17}{13}$

Ответ: $x = \frac{17}{13}$

4) $(\frac{6}{5})^x \cdot (\frac{25}{36})^x = \frac{125}{216}$

Воспользуемся свойством $a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$ для левой части уравнения:

$(\frac{6}{5} \cdot \frac{25}{36})^x = \frac{125}{216}$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{6}{5} \cdot \frac{25}{36} = \frac{6 \cdot 25}{5 \cdot 36} = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 6} = \frac{5}{6}$

Уравнение принимает вид:

$(\frac{5}{6})^x = \frac{125}{216}$

Теперь представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{6}$. Мы знаем, что $125 = 5^3$ и $216 = 6^3$.

$\frac{125}{216} = \frac{5^3}{6^3} = (\frac{5}{6})^3$

Подставляем обратно в уравнение:

$(\frac{5}{6})^x = (\frac{5}{6})^3$

Приравниваем показатели:

$x = 3$

Ответ: $x = 3$

5) $2^x \cdot 3^{2x} \cdot 5^x = 90^{3x-7}$

Преобразуем левую часть уравнения. Заметим, что $3^{2x} = (3^2)^x = 9^x$.

$2^x \cdot 9^x \cdot 5^x = (2 \cdot 9 \cdot 5)^x = 90^x$

Теперь уравнение выглядит так:

$90^x = 90^{3x-7}$

Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = 3x - 7$

Решим линейное уравнение:

$7 = 3x - x$

$7 = 2x$

$x = \frac{7}{2}$

Ответ: $x = \frac{7}{2}$

6) $8 \cdot 7^{2x^2 - x} - 7 \cdot 8^{2x^2 - x} = 0$

Перенесем второе слагаемое в правую часть уравнения:

$8 \cdot 7^{2x^2 - x} = 7 \cdot 8^{2x^2 - x}$

Разделим обе части уравнения на $8^{2x^2 - x}$. Так как $8^{2x^2-x} > 0$ для любого $x$, это преобразование является равносильным.

$8 \cdot \frac{7^{2x^2 - x}}{8^{2x^2 - x}} = 7$

Используя свойство $\frac{a^y}{b^y} = (\frac{a}{b})^y$, получаем:

$8 \cdot (\frac{7}{8})^{2x^2 - x} = 7$

Разделим обе части на 8:

$(\frac{7}{8})^{2x^2 - x} = \frac{7}{8}$

Правую часть можно записать как $(\frac{7}{8})^1$.

$(\frac{7}{8})^{2x^2 - x} = (\frac{7}{8})^1$

Приравниваем показатели степеней:

$2x^2 - x = 1$

Получили квадратное уравнение. Перенесем все в левую часть:

$2x^2 - x - 1 = 0$

Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $1; -\frac{1}{2}$

377. Найдите множество решений неравенства:

1) $(\frac{1}{27})^{2-x} > 9^{2x-1};$

2) $1 < 10^{x+1} \le 100000;$

3) $0,04 \le 5^{2-x} \le 25;$

4) $1,3^{x^2 - 4x + 2} \le 1,69;$

5) $0,4^{x^2 + 2x + 2} \le 0,16;$

6) $4,5^{\frac{x^2 - 9x + 14}{x - 3}} \ge 1;$

7) $0,9^{\frac{6 - x}{x^2 - 2x - 3}} \le 1;$

8) $7 \cdot 343^{\frac{2x^2 + 1}{x}} - 49^{3x} < 0.$

1) $(\frac{1}{27})^{2-x} > 9^{2x-1}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию, например, к 3.

Так как $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$ и $9 = 3^2$, неравенство можно переписать в виде:

$(3^{-3})^{2-x} > (3^2)^{2x-1}$

Упростим показатели степеней:

$3^{-3(2-x)} > 3^{2(2x-1)}$

$3^{3x-6} > 3^{4x-2}$

Поскольку основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$3x - 6 > 4x - 2$

Решим полученное линейное неравенство:

$3x - 4x > -2 + 6$

$-x > 4$

$x < -4$

Множество решений: $(-\infty; -4)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4)$.

2) $1 < 10^{x+1} \le 100000$

Представим все части двойного неравенства в виде степеней с основанием 10.

$1 = 10^0$

$100000 = 10^5$

Неравенство принимает вид:

$10^0 < 10^{x+1} \le 10^5$

Так как основание $10 > 1$, знаки неравенства для показателей степеней сохраняются:

$0 < x+1 \le 5$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$0 - 1 < x \le 5 - 1$

$-1 < x \le 4$

Множество решений: $(-1; 4]$.

Ответ: $x \in (-1; 4]$.

3) $0,04 \le 5^{2-x} \le 25$

Приведем все части неравенства к основанию 5.

$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$

$25 = 5^2$

Неравенство принимает вид:

$5^{-2} \le 5^{2-x} \le 5^2$

Основание $5 > 1$, поэтому знаки неравенства для показателей сохраняются:

$-2 \le 2-x \le 2$

Вычтем 2 из всех частей:

$-2-2 \le -x \le 2-2$

$-4 \le -x \le 0$

Умножим все части на -1 и изменим знаки неравенства на противоположные:

$4 \ge x \ge 0$

или $0 \le x \le 4$.

Множество решений: $[0; 4]$.

Ответ: $x \in [0; 4]$.

4) $1,3^{x^2 - 4x + 2} \le 1,69$

Приведем обе части к основанию 1,3. $1,69 = 1,3^2$.

$1,3^{x^2 - 4x + 2} \le 1,3^2$

Основание $1,3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 4x + 2 \le 2$

$x^2 - 4x \le 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-4) \le 0$

Найдем корни уравнения $x(x-4) = 0$: $x_1=0$, $x_2=4$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x(x-4) \le 0$ выполняется между корнями (включая корни).

$0 \le x \le 4$

Множество решений: $[0; 4]$.

Ответ: $x \in [0; 4]$.

5) $0,4^{x^2 + 2x + 2} \le 0,16$

Приведем обе части к основанию 0,4. $0,16 = 0,4^2$.

$0,4^{x^2 + 2x + 2} \le 0,4^2$

Основание $0 < 0,4 < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 + 2x + 2 \ge 2$

$x^2 + 2x \ge 0$

$x(x+2) \ge 0$

Корни уравнения $x(x+2)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=-2$.

Парабола $y=x(x+2)$ с ветвями вверх, поэтому неравенство $x(x+2) \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями.

$x \le -2$ или $x \ge 0$.

Множество решений: $(-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$.

6) $4,5^{\frac{x^2 - 9x + 14}{x-3}} \ge 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, $x-3 \ne 0 \implies x \ne 3$.

Представим 1 как степень с основанием 4,5: $1 = 4,5^0$.

$4,5^{\frac{x^2 - 9x + 14}{x-3}} \ge 4,5^0$

Основание $4,5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{x^2 - 9x + 14}{x-3} \ge 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$ это $x_1=2$ и $x_2=7$.

$\frac{(x-2)(x-7)}{x-3} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=2, x=7$. Нуль знаменателя: $x=3$.

Отметим точки на числовой прямой. Точки 2 и 7 будут закрашенными, точка 3 - выколотой.

Интервалы: $(-\infty; 2]$, $[2; 3)$, $(3; 7]$, $[7; +\infty)$.

Проверяем знаки на интервалах:

При $x<2$: $\frac{(-)(-)_}{(-)} = (-)$

При $2<x<3$: $\frac{(+)(-)_}{(-)} = (+)$

При $3<x<7$: $\frac{(+)(-)_}{(+)} = (-)$

При $x>7$: $\frac{(+)(+)_}{(+)} = (+)$

Выбираем интервалы со знаком "+", а также включая точки $x=2$ и $x=7$.

Множество решений: $[2; 3) \cup [7; +\infty)$.

Ответ: $x \in [2; 3) \cup [7; +\infty)$.

7) $0,9^{\frac{6-x}{x^2-2x-3}} \le 1$

ОДЗ: $x^2-2x-3 \ne 0 \implies (x-3)(x+1) \ne 0 \implies x \ne 3$ и $x \ne -1$.

Представим 1 как $0,9^0$.

$0,9^{\frac{6-x}{x^2-2x-3}} \le 0,9^0$

Основание $0 < 0,9 < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{6-x}{x^2-2x-3} \ge 0$

$\frac{-(x-6)}{(x-3)(x+1)} \ge 0$

Умножим на -1 и снова сменим знак неравенства:

$\frac{x-6}{(x-3)(x+1)} \le 0$

Решим методом интервалов. Нули: $x=6, x=3, x=-1$.

Точка $x=6$ - закрашенная, точки $x=3$ и $x=-1$ - выколотые.

Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 3)$, $(3; 6]$, $[6; +\infty)$.

Проверяем знаки:

При $x<-1$: $\frac{(-)_}{(-)(-)} = (-)$

При $-1<x<3$: $\frac{(-)_}{(+)(-)} = (+)$

При $3<x<6$: $\frac{(-)_}{(+)(+)} = (-)$

При $x>6$: $\frac{(+)_}{(+)(+)} = (+)$

Выбираем интервалы со знаком "-", включая точку $x=6$.

Множество решений: $(-\infty; -1) \cup (3; 6]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; 6]$.

8) $7 \cdot 343^{\frac{2x^2+1}{x}} - 49^{3x} < 0$

ОДЗ: $x \ne 0$.

Приведем все к основанию 7: $343 = 7^3$, $49=7^2$.

$7^1 \cdot (7^3)^{\frac{2x^2+1}{x}} - (7^2)^{3x} < 0$

$7^{1 + \frac{3(2x^2+1)}{x}} < 7^{6x}$

$7^{1 + \frac{6x^2+3}{x}} < 7^{6x}$

Основание $7 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$1 + \frac{6x^2+3}{x} < 6x$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{x}{x} + \frac{6x^2+3}{x} - \frac{6x \cdot x}{x} < 0$

$\frac{x + 6x^2 + 3 - 6x^2}{x} < 0$

$\frac{x+3}{x} < 0$

Решим методом интервалов. Нули: $x=-3, x=0$. Обе точки выколотые.

Интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; +\infty)$.

Проверяем знаки:

При $x<-3$: $\frac{(-)_}{(-)} = (+)$

При $-3<x<0$: $\frac{(+)_}{(-)} = (-)$

При $x>0$: $\frac{(+)_}{(+)} = (+)$

Выбираем интервал со знаком "-".

Множество решений: $(-3; 0)$.

Ответ: $x \in (-3; 0)$.