Номер 403, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 403, страница 253.

403. Решите уравнение:

1) $x^{\log_5 x - 2} = 125$;

2) $x^{\lg x} = 100x$;

3) $x^{2\log_7 x} = 7x$;

4) $x^{\log_6 x} = \frac{36}{x}$.

1) $x^{\log_5 x - 2} = 125$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5:

$\log_5(x^{\log_5 x - 2}) = \log_5(125)$

Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$, получаем:

$(\log_5 x - 2) \cdot \log_5 x = \log_5(5^3)$

$(\log_5 x - 2) \cdot \log_5 x = 3$

Введем замену: пусть $t = \log_5 x$. Уравнение примет вид:

$(t-2)t = 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 2$

$t_1 \cdot t_2 = -3$

Корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Сделаем обратную замену:

1. Если $\log_5 x = 3$, то $x = 5^3 = 125$.

2. Если $\log_5 x = -1$, то $x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Оба корня ($125$ и $\frac{1}{5}$) положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $125; \frac{1}{5}$.

2) $x^{\lg x} = 100x$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 (десятичный логарифм):

$\lg(x^{\lg x}) = \lg(100x)$

Используя свойства логарифмов $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$ и $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$, получаем:

$(\lg x) \cdot (\lg x) = \lg 100 + \lg x$

$(\lg x)^2 = \lg(10^2) + \lg x$

$(\lg x)^2 = 2 + \lg x$

Введем замену: пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:

$t^2 = 2 + t$

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 1$

$t_1 \cdot t_2 = -2$

Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Сделаем обратную замену:

1. Если $\lg x = 2$, то $x = 10^2 = 100$.

2. Если $\lg x = -1$, то $x = 10^{-1} = \frac{1}{10}$.

Оба корня ($100$ и $\frac{1}{10}$) положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $100; \frac{1}{10}$.

3) $x^{2\log_7 x} = 7x$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 7:

$\log_7(x^{2\log_7 x}) = \log_7(7x)$

Используя свойства логарифмов $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$ и $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$, получаем:

$(2\log_7 x) \cdot (\log_7 x) = \log_7 7 + \log_7 x$

$2(\log_7 x)^2 = 1 + \log_7 x$

Введем замену: пусть $t = \log_7 x$. Уравнение примет вид:

$2t^2 = 1 + t$

$2t^2 - t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

$t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1+3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$

Сделаем обратную замену:

1. Если $\log_7 x = 1$, то $x = 7^1 = 7$.

2. Если $\log_7 x = -\frac{1}{2}$, то $x = 7^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$.

Оба корня ($7$ и $\frac{\sqrt{7}}{7}$) положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $7; \frac{\sqrt{7}}{7}$.

4) $x^{\log_6 x} = \frac{36}{x}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 6:

$\log_6(x^{\log_6 x}) = \log_6(\frac{36}{x})$

Используя свойства логарифмов $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$ и $\log_a(\frac{b}{c}) = \log_a b - \log_a c$, получаем:

$(\log_6 x) \cdot (\log_6 x) = \log_6 36 - \log_6 x$

$(\log_6 x)^2 = \log_6(6^2) - \log_6 x$

$(\log_6 x)^2 = 2 - \log_6 x$

Введем замену: пусть $t = \log_6 x$. Уравнение примет вид:

$t^2 = 2 - t$

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -1$

$t_1 \cdot t_2 = -2$

Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Сделаем обратную замену:

1. Если $\log_6 x = 1$, то $x = 6^1 = 6$.

2. Если $\log_6 x = -2$, то $x = 6^{-2} = \frac{1}{36}$.

Оба корня ($6$ и $\frac{1}{36}$) положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $6; \frac{1}{36}$.