Номер 408, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Производная и её применение - номер 408, страница 254.

Учебник.

408. Укажите среди данных функций ту функцию, касательная к которой в точке с абсциссой $x_0 = 0$ является горизонтальной прямой:

1) $y = x^3 + 2x - 3;$

2) $y = x^2 - 1;$

3) $y = x^2 - 6x;$

4) $y = -x^2 - x.$

Решение 2.

Касательная к графику функции в точке является горизонтальной прямой тогда и только тогда, когда ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

По условию задачи, касательная горизонтальна в точке с абсциссой $x_0 = 0$. Это означает, что мы должны найти такую функцию из предложенных, для которой производная в точке $x=0$ равна нулю: $f'(0) = 0$.

Проверим каждую функцию последовательно.

1) Для функции $y = x^3 + 2x - 3$ производная равна $y' = (x^3 + 2x - 3)' = 3x^2 + 2$.
Значение производной в точке $x_0 = 0$: $y'(0) = 3 \cdot 0^2 + 2 = 2$.
Поскольку $y'(0) = 2 \neq 0$, эта функция не является искомой.

2) Для функции $y = x^2 - 1$ производная равна $y' = (x^2 - 1)' = 2x$.
Значение производной в точке $x_0 = 0$: $y'(0) = 2 \cdot 0 = 0$.
Поскольку $y'(0) = 0$, касательная к графику этой функции в точке $x_0 = 0$ является горизонтальной. Это искомая функция.

3) Для функции $y = x^2 - 6x$ производная равна $y' = (x^2 - 6x)' = 2x - 6$.
Значение производной в точке $x_0 = 0$: $y'(0) = 2 \cdot 0 - 6 = -6$.
Поскольку $y'(0) = -6 \neq 0$, эта функция не является искомой.

4) Для функции $y = -x^2 - x$ производная равна $y' = (-x^2 - x)' = -2x - 1$.
Значение производной в точке $x_0 = 0$: $y'(0) = -2 \cdot 0 - 1 = -1$.
Поскольку $y'(0) = -1 \neq 0$, эта функция не является искомой.

Таким образом, единственная функция, которая удовлетворяет заданному условию, — это функция под номером 2.

Ответ: 2