Номер 381, страница 249 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 381, страница 249.

381. Решите неравенство:

1) $25^x - 2 \cdot 5^x - 15 > 0;$

2) $4^{x+1} - 9 \cdot 2^x + 2 \le 0;$

3) $3^{x+2} - 28 \cdot 3^{0.5x} + 3 \ge 0;$

4) $(\frac{1}{9})^x - 6 \cdot (\frac{1}{3})^x - 27 \le 0;$

5) $(\frac{1}{4})^x - 2^{1-x} - 8 \ge 0;$

6) $7^x + 7^{2-x} - 50 \ge 0.$

1) $25^x - 2 \cdot 5^x - 15 > 0$

Перепишем неравенство, приведя степени к одному основанию $5$. Так как $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$, получаем:

$(5^x)^2 - 2 \cdot 5^x - 15 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 2t - 15 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 2t - 15 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.

Парабола $y = t^2 - 2t - 15$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 - 2t - 15 > 0$ выполняется при $t < -3$ или $t > 5$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем, что $t > 5$.

Возвращаемся к исходной переменной $x$:

$5^x > 5$

$5^x > 5^1$

Так как основание степени $5 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2) $4^{x+1} - 9 \cdot 2^x + 2 \le 0$

Преобразуем неравенство: $4 \cdot 4^x - 9 \cdot 2^x + 2 \le 0$. Так как $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$, получаем:

$4 \cdot (2^x)^2 - 9 \cdot 2^x + 2 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$4t^2 - 9t + 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $4t^2 - 9t + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 = 7^2$.

Корни: $t_1 = \frac{9-7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ и $t_2 = \frac{9+7}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

Парабола $y = 4t^2 - 9t + 2$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $4t^2 - 9t + 2 \le 0$ выполняется при $t$ между корнями, включая их: $\frac{1}{4} \le t \le 2$.

Оба значения входят в область $t > 0$.

Возвращаемся к $x$:

$\frac{1}{4} \le 2^x \le 2$

$2^{-2} \le 2^x \le 2^1$

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$-2 \le x \le 1$

Ответ: $x \in [-2; 1]$.

3) $3^{x+2} - 28 \cdot 3^{0.5x} + 3 \ge 0$

Преобразуем неравенство: $3^2 \cdot 3^x - 28 \cdot 3^{0.5x} + 3 \ge 0$. Так как $3^x = (3^{0.5x})^2$, получаем:

$9 \cdot (3^{0.5x})^2 - 28 \cdot 3^{0.5x} + 3 \ge 0$

Сделаем замену $t = 3^{0.5x}$, где $t > 0$.

$9t^2 - 28t + 3 \ge 0$

Найдем корни уравнения $9t^2 - 28t + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-28)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 3 = 784 - 108 = 676 = 26^2$.

Корни: $t_1 = \frac{28-26}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ и $t_2 = \frac{28+26}{18} = \frac{54}{18} = 3$.

Парабола ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $t \le \frac{1}{9}$ или $t \ge 3$.

Оба условия удовлетворяют $t > 0$.

Возвращаемся к $x$:

1) $3^{0.5x} \le \frac{1}{9} \implies 3^{0.5x} \le 3^{-2}$. Так как основание $3 > 1$, то $0.5x \le -2 \implies x \le -4$.

2) $3^{0.5x} \ge 3 \implies 3^{0.5x} \ge 3^1$. Так как основание $3 > 1$, то $0.5x \ge 1 \implies x \ge 2$.

Объединяя решения, получаем:

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [2; +\infty)$.

4) $(\frac{1}{9})^x - 6 \cdot (\frac{1}{3})^x - 27 \le 0$

Перепишем $(\frac{1}{9})^x = ((\frac{1}{3})^2)^x = ((\frac{1}{3})^x)^2$.

$((\frac{1}{3})^x)^2 - 6 \cdot (\frac{1}{3})^x - 27 \le 0$

Сделаем замену $t = (\frac{1}{3})^x$, где $t > 0$.

$t^2 - 6t - 27 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 6t - 27 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 9$ и $t_2 = -3$.

Парабола ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $-3 \le t \le 9$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t \le 9$.

Возвращаемся к $x$: $0 < (\frac{1}{3})^x \le 9$.

Неравенство $(\frac{1}{3})^x > 0$ верно для любого $x$. Решим $(\frac{1}{3})^x \le 9$.

$(\frac{1}{3})^x \le 3^2 \implies (\frac{1}{3})^x \le (\frac{1}{3})^{-2}$

Так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge -2$

Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

5) $(\frac{1}{4})^x - 2^{1-x} - 8 \ge 0$

Приведем все степени к основанию 2. $(\frac{1}{4})^x = (2^{-2})^x = 2^{-2x}$. $2^{1-x} = 2 \cdot 2^{-x}$.

$2^{-2x} - 2 \cdot 2^{-x} - 8 \ge 0$

Пусть $t = 2^{-x}$, где $t > 0$.

$t^2 - 2t - 8 \ge 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 2t - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.

Парабола ветвями вверх, неравенство выполняется при $t \le -2$ или $t \ge 4$.

С учетом $t > 0$ остается только $t \ge 4$.

Возвращаемся к $x$:

$2^{-x} \ge 4$

$2^{-x} \ge 2^2$

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$-x \ge 2$

$x \le -2$

Ответ: $x \in (-\infty; -2]$.

6) $7^x + 7^{2-x} - 50 \ge 0$

Преобразуем $7^{2-x} = 7^2 \cdot 7^{-x} = \frac{49}{7^x}$.

$7^x + \frac{49}{7^x} - 50 \ge 0$

Пусть $t = 7^x$, где $t > 0$.

$t + \frac{49}{t} - 50 \ge 0$

Так как $t>0$, умножим обе части неравенства на $t$, сохранив знак:

$t^2 - 50t + 49 \ge 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 50t + 49 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 49$.

Парабола ветвями вверх, неравенство выполняется при $t \le 1$ или $t \ge 49$.

Оба условия удовлетворяют $t>0$.

Возвращаемся к $x$:

1) $7^x \le 1 \implies 7^x \le 7^0$. Так как основание $7 > 1$, то $x \le 0$.

2) $7^x \ge 49 \implies 7^x \ge 7^2$. Так как основание $7 > 1$, то $x \ge 2$.

Объединяя решения, получаем:

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.