Номер 386, страница 250 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства - номер 386, страница 250.

Учебник.

386. На рисунке 14 изображён график убывающей функции $y = f (x)$, определённой на множестве действительных чисел. Сколько корней имеет уравнение $f (x) = \log_{4} x$?

Рис. 14

Решение 2.

Для того чтобы найти количество корней уравнения $f(x) = \log_{4}{x}$, необходимо определить количество точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=\log_{4}{x}$.

Рассмотрим свойства каждой из этих функций.

1. Функция $y = f(x)$. По условию, это убывающая функция, определенная на множестве всех действительных чисел. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

2. Функция $y = \log_{4}{x}$. Это логарифмическая функция.

• Область определения этой функции: $x > 0$.
• Основание логарифма $4 > 1$, следовательно, функция $y = \log_{4}{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что если $x_1 < x_2$, то $\log_{4}{x_1} < \log_{4}{x_2}$.

Таким образом, нам нужно найти количество точек пересечения графика убывающей функции и графика возрастающей функции. Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза.

Докажем, что пересечение существует и оно единственно. Рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = f(x) - \log_{4}{x}$. Эта функция определена при $x > 0$. Корни уравнения $f(x) = \log_{4}{x}$ соответствуют нулям функции $h(x)$.

Функция $h(x)$ является разностью убывающей функции $f(x)$ и возрастающей функции $\log_{4}{x}$. Разность убывающей и возрастающей функций всегда является убывающей функцией. Действительно, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$ и $\log_{4}{x_1} < \log_{4}{x_2}$ (что эквивалентно $-\log_{4}{x_1} > -\log_{4}{x_2}$). Складывая неравенства $f(x_1) > f(x_2)$ и $-\log_{4}{x_1} > -\log_{4}{x_2}$, получаем $f(x_1) - \log_{4}{x_1} > f(x_2) - \log_{4}{x_2}$, то есть $h(x_1) > h(x_2)$. Значит, $h(x)$ — строго убывающая функция.

Поскольку функция $h(x)$ строго монотонна, она может принимать каждое свое значение только один раз. Следовательно, уравнение $h(x) = 0$ может иметь не более одного корня.

Покажем, что корень существует. Для этого проанализируем поведение функции $h(x)$ на границах ее области определения $(0; +\infty)$.

При $x \to 0^+$: Из графика видно, что $f(x)$ стремится к некоторому положительному значению $f(0)$. В то же время, $\log_{4}{x} \to -\infty$. Следовательно, $h(x) = f(x) - \log_{4}{x} \to f(0) - (-\infty) = +\infty$.

При $x \to +\infty$: Из графика видно, что функция $f(x)$ убывает (и, возможно, стремится к некоторой константе или к $-\infty$). Функция $\log_{4}{x}$ неограниченно возрастает, $\log_{4}{x} \to +\infty$. Следовательно, $h(x) = f(x) - \log_{4}{x} \to -\infty$.

Функция $h(x)$ является непрерывной на интервале $(0; +\infty)$ как разность двух непрерывных функций. Поскольку на этом интервале она принимает как положительные (при $x$, близких к 0), так и отрицательные (при больших $x$) значения, то по теореме о промежуточном значении существует хотя бы одна точка $x_0$, в которой $h(x_0)=0$.

Так как мы уже установили, что функция $h(x)$ строго убывает, такой корень может быть только один.

Следовательно, графики функций $y = f(x)$ и $y = \log_{4}{x}$ пересекаются ровно в одной точке, а значит, уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: 1.