Номер 386, страница 250 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 386, страница 250.
№386 (с. 250)
Учебник. №386 (с. 250)
скриншот условия


386. На рисунке 14 изображён график убывающей функции $y = f (x)$, определённой на множестве действительных чисел. Сколько корней имеет уравнение $f (x) = \log_{4} x$?
Рис. 14
Решение 2. №386 (с. 250)
Для того чтобы найти количество корней уравнения $f(x) = \log_{4}{x}$, необходимо определить количество точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=\log_{4}{x}$.
Рассмотрим свойства каждой из этих функций.
1. Функция $y = f(x)$. По условию, это убывающая функция, определенная на множестве всех действительных чисел. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.
2. Функция $y = \log_{4}{x}$. Это логарифмическая функция.
- Область определения этой функции: $x > 0$.
- Основание логарифма $4 > 1$, следовательно, функция $y = \log_{4}{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что если $x_1 < x_2$, то $\log_{4}{x_1} < \log_{4}{x_2}$.
Таким образом, нам нужно найти количество точек пересечения графика убывающей функции и графика возрастающей функции. Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза.
Докажем, что пересечение существует и оно единственно. Рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = f(x) - \log_{4}{x}$. Эта функция определена при $x > 0$. Корни уравнения $f(x) = \log_{4}{x}$ соответствуют нулям функции $h(x)$.
Функция $h(x)$ является разностью убывающей функции $f(x)$ и возрастающей функции $\log_{4}{x}$. Разность убывающей и возрастающей функций всегда является убывающей функцией. Действительно, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$ и $\log_{4}{x_1} < \log_{4}{x_2}$ (что эквивалентно $-\log_{4}{x_1} > -\log_{4}{x_2}$). Складывая неравенства $f(x_1) > f(x_2)$ и $-\log_{4}{x_1} > -\log_{4}{x_2}$, получаем $f(x_1) - \log_{4}{x_1} > f(x_2) - \log_{4}{x_2}$, то есть $h(x_1) > h(x_2)$. Значит, $h(x)$ — строго убывающая функция.
Поскольку функция $h(x)$ строго монотонна, она может принимать каждое свое значение только один раз. Следовательно, уравнение $h(x) = 0$ может иметь не более одного корня.
Покажем, что корень существует. Для этого проанализируем поведение функции $h(x)$ на границах ее области определения $(0; +\infty)$.
При $x \to 0^+$: Из графика видно, что $f(x)$ стремится к некоторому положительному значению $f(0)$. В то же время, $\log_{4}{x} \to -\infty$. Следовательно, $h(x) = f(x) - \log_{4}{x} \to f(0) - (-\infty) = +\infty$.
При $x \to +\infty$: Из графика видно, что функция $f(x)$ убывает (и, возможно, стремится к некоторой константе или к $-\infty$). Функция $\log_{4}{x}$ неограниченно возрастает, $\log_{4}{x} \to +\infty$. Следовательно, $h(x) = f(x) - \log_{4}{x} \to -\infty$.
Функция $h(x)$ является непрерывной на интервале $(0; +\infty)$ как разность двух непрерывных функций. Поскольку на этом интервале она принимает как положительные (при $x$, близких к 0), так и отрицательные (при больших $x$) значения, то по теореме о промежуточном значении существует хотя бы одна точка $x_0$, в которой $h(x_0)=0$.
Так как мы уже установили, что функция $h(x)$ строго убывает, такой корень может быть только один.
Следовательно, графики функций $y = f(x)$ и $y = \log_{4}{x}$ пересекаются ровно в одной точке, а значит, уравнение имеет ровно один корень.
Ответ: 1.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 386 расположенного на странице 250 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №386 (с. 250), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.