Номер 386, страница 250 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2016

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2016 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий, зелёный

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика. Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 11 классе

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 386, страница 250.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№386 (с. 250)
Учебник. №386 (с. 250)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2016, страница 250, номер 386, Учебник Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2016, страница 250, номер 386, Учебник (продолжение 2)

386. На рисунке 14 изображён график убывающей функции $y = f (x)$, определённой на множестве действительных чисел. Сколько корней имеет уравнение $f (x) = \log_{4} x$?

Рис. 14

Решение 2. №386 (с. 250)

Для того чтобы найти количество корней уравнения $f(x) = \log_{4}{x}$, необходимо определить количество точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=\log_{4}{x}$.

Рассмотрим свойства каждой из этих функций.

1. Функция $y = f(x)$. По условию, это убывающая функция, определенная на множестве всех действительных чисел. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

2. Функция $y = \log_{4}{x}$. Это логарифмическая функция.

  • Область определения этой функции: $x > 0$.
  • Основание логарифма $4 > 1$, следовательно, функция $y = \log_{4}{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что если $x_1 < x_2$, то $\log_{4}{x_1} < \log_{4}{x_2}$.

Таким образом, нам нужно найти количество точек пересечения графика убывающей функции и графика возрастающей функции. Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза.

Докажем, что пересечение существует и оно единственно. Рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = f(x) - \log_{4}{x}$. Эта функция определена при $x > 0$. Корни уравнения $f(x) = \log_{4}{x}$ соответствуют нулям функции $h(x)$.

Функция $h(x)$ является разностью убывающей функции $f(x)$ и возрастающей функции $\log_{4}{x}$. Разность убывающей и возрастающей функций всегда является убывающей функцией. Действительно, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$ и $\log_{4}{x_1} < \log_{4}{x_2}$ (что эквивалентно $-\log_{4}{x_1} > -\log_{4}{x_2}$). Складывая неравенства $f(x_1) > f(x_2)$ и $-\log_{4}{x_1} > -\log_{4}{x_2}$, получаем $f(x_1) - \log_{4}{x_1} > f(x_2) - \log_{4}{x_2}$, то есть $h(x_1) > h(x_2)$. Значит, $h(x)$ — строго убывающая функция.

Поскольку функция $h(x)$ строго монотонна, она может принимать каждое свое значение только один раз. Следовательно, уравнение $h(x) = 0$ может иметь не более одного корня.

Покажем, что корень существует. Для этого проанализируем поведение функции $h(x)$ на границах ее области определения $(0; +\infty)$.

При $x \to 0^+$: Из графика видно, что $f(x)$ стремится к некоторому положительному значению $f(0)$. В то же время, $\log_{4}{x} \to -\infty$. Следовательно, $h(x) = f(x) - \log_{4}{x} \to f(0) - (-\infty) = +\infty$.

При $x \to +\infty$: Из графика видно, что функция $f(x)$ убывает (и, возможно, стремится к некоторой константе или к $-\infty$). Функция $\log_{4}{x}$ неограниченно возрастает, $\log_{4}{x} \to +\infty$. Следовательно, $h(x) = f(x) - \log_{4}{x} \to -\infty$.

Функция $h(x)$ является непрерывной на интервале $(0; +\infty)$ как разность двух непрерывных функций. Поскольку на этом интервале она принимает как положительные (при $x$, близких к 0), так и отрицательные (при больших $x$) значения, то по теореме о промежуточном значении существует хотя бы одна точка $x_0$, в которой $h(x_0)=0$.

Так как мы уже установили, что функция $h(x)$ строго убывает, такой корень может быть только один.

Следовательно, графики функций $y = f(x)$ и $y = \log_{4}{x}$ пересекаются ровно в одной точке, а значит, уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: 1.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 386 расположенного на странице 250 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №386 (с. 250), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться