Номер 383, страница 250 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 383, страница 250.

383. Вычислите:

1) $2^{1 - \log_2 7}$;

2) $5^{3\log_5 2}$;

3) $10^{1 + \lg \sin \frac{\pi}{6}}$;

4) $4^{\frac{1}{2}\log_2 3 + \log_2 5}$;

5) $\log_4 \log_{14} 196 + \log_5 \sqrt{5}$;

6) $\lg 20 + \lg 50$;

7) $\log_3 7 - \log_3 \frac{7}{27}$;

8) $5^{-2\log_{25} \frac{1}{4} + \log_5 2}$;

9) $36^{\log_6 7} + 10^2 - \lg 4 - 7^{\log_{49} 25}$;

10) $3\lg 5 + \frac{1}{2}\lg 64$;

11) $\frac{\lg 27 + \lg 12}{\lg 2 + 2\lg 3}$;

12) $\log_{\sqrt{2}} 12 - \log_2 9$.

1) $2^{1 - \log_2 7}$
Для вычисления используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$2^{1 - \log_2 7} = \frac{2^1}{2^{\log_2 7}} = \frac{2}{7}$.
Ответ: $\frac{2}{7}$.

2) $5^{3\log_5 2}$
Используем свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$5^{3\log_5 2} = 5^{\log_5 2^3} = 5^{\log_5 8} = 8$.
Ответ: $8$.

3) $10^{1 + \lg \sin\frac{\pi}{6}}$
Сначала вычислим значение синуса: $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Затем используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество (учитывая, что $\lg x = \log_{10} x$).
$10^{1 + \lg \frac{1}{2}} = 10^1 \cdot 10^{\lg \frac{1}{2}} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$.
Ответ: $5$.

4) $4^{\frac{1}{2}\log_2 3 + \log_2 5}$
Представим основание степени $4$ как $2^2$ и преобразуем показатель, используя свойства логарифмов $n\log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$.
$\frac{1}{2}\log_2 3 + \log_2 5 = \log_2 3^{\frac{1}{2}} + \log_2 5 = \log_2 \sqrt{3} + \log_2 5 = \log_2(5\sqrt{3})$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$4^{\log_2(5\sqrt{3})} = (2^2)^{\log_2(5\sqrt{3})} = 2^{2\log_2(5\sqrt{3})} = 2^{\log_2((5\sqrt{3})^2)} = (5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$.
Ответ: $75$.

5) $\log_4 \log_{14} 196 + \log_5 \sqrt{5}$
Вычислим каждое слагаемое отдельно.Для первого слагаемого сначала найдем внутренний логарифм: $\log_{14} 196 = \log_{14} 14^2 = 2$. Тогда первое слагаемое равно $\log_4 2 = \log_{2^2} 2 = \frac{1}{2}\log_2 2 = \frac{1}{2}$.
Второе слагаемое: $\log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.
Суммируем полученные значения: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
Ответ: $1$.

6) $\lg 20 + \lg 50$
Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.
$\lg 20 + \lg 50 = \lg(20 \cdot 50) = \lg 1000 = \log_{10} 10^3 = 3$.
Ответ: $3$.

7) $\log_3 7 - \log_3 \frac{7}{27}$
Используем свойство разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.
$\log_3 7 - \log_3 \frac{7}{27} = \log_3 \left(\frac{7}{\frac{7}{27}}\right) = \log_3(7 \cdot \frac{27}{7}) = \log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$.
Ответ: $3$.

8) $5^{-2\log_{25} \frac{1}{4} + \log_5 2}$
Упростим показатель степени. Приведем логарифм по основанию $25$ к логарифму по основанию $5$, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$.
$-2\log_{25} \frac{1}{4} = -2\log_{5^2} (4^{-1}) = -2 \cdot \frac{1}{2} \log_5 (4^{-1}) = -1 \cdot (-\log_5 4) = \log_5 4$.
Теперь показатель степени равен $\log_5 4 + \log_5 2 = \log_5(4 \cdot 2) = \log_5 8$.
Подставляем в исходное выражение: $5^{\log_5 8} = 8$.
Ответ: $8$.

9) $36^{\log_6 7} + 10^{2 - \lg 4} - 7^{\log_{49} 25}$
Вычислим каждое слагаемое отдельно.
$36^{\log_6 7} = (6^2)^{\log_6 7} = 6^{2\log_6 7} = 6^{\log_6 7^2} = 7^2 = 49$.
$10^{2 - \lg 4} = \frac{10^2}{10^{\lg 4}} = \frac{100}{4} = 25$.
$7^{\log_{49} 25} = 7^{\log_{7^2} 5^2} = 7^{\frac{2}{2}\log_7 5} = 7^{\log_7 5} = 5$.
Складываем и вычитаем результаты: $49 + 25 - 5 = 69$.
Ответ: $69$.

10) $3\lg 5 + \frac{1}{2}\lg 64$
Используем свойства логарифмов $n\log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$.
$3\lg 5 + \frac{1}{2}\lg 64 = \lg 5^3 + \lg 64^{\frac{1}{2}} = \lg 125 + \lg 8 = \lg(125 \cdot 8) = \lg 1000 = 3$.
Ответ: $3$.

11) $\frac{\lg 27 + \lg 12}{\lg 2 + 2\lg 3}$
Преобразуем числитель и знаменатель, используя свойства логарифмов.
Числитель: $\lg 27 + \lg 12 = \lg(3^3) + \lg(3 \cdot 4) = 3\lg 3 + \lg 3 + \lg 4 = 4\lg 3 + 2\lg 2$.
Знаменатель: $\lg 2 + 2\lg 3$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:$\frac{4\lg 3 + 2\lg 2}{\lg 2 + 2\lg 3} = \frac{2(2\lg 3 + \lg 2)}{2\lg 3 + \lg 2} = 2$.
Ответ: $2$.

12) $\log_{\sqrt{2}} 12 - \log_2 9$
Приведем логарифмы к одному основанию $2$. Для первого слагаемого используем формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
$\log_{\sqrt{2}} 12 = \log_{2^{1/2}} 12 = \frac{1}{1/2} \log_2 12 = 2\log_2 12 = \log_2 12^2 = \log_2 144$.
Теперь выражение принимает вид:$\log_2 144 - \log_2 9 = \log_2\left(\frac{144}{9}\right) = \log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$.
Ответ: $4$.