Номер 369, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Тригонометрические уравнения и неравенства - номер 369, страница 247.

Учебник.

369. Сколько корней уравнения $ \sin 3x - \sin x + \cos 2x = 0 $ принадлежат промежутку $ \left[ -\frac{\pi}{2}; \pi \right] $?

Решение 2.

1. Решение уравнения

Исходное уравнение: $\sin(3x) - \sin(x) + \cos(2x) = 0$.

Для преобразования разности синусов воспользуемся формулой $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\sin(3x) - \sin(x) = 2\cos\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} = 2\cos(2x)\sin(x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2\cos(2x)\sin(x) + \cos(2x) = 0$.

Вынесем за скобки общий множитель $\cos(2x)$:

$\cos(2x)(2\sin(x) + 1) = 0$.

Это уравнение распадается на совокупность двух уравнений: $\cos(2x) = 0$ или $2\sin(x) + 1 = 0$.

Решения первого уравнения $\cos(2x) = 0$: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решения второго уравнения $\sin(x) = -\frac{1}{2}$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Отбор корней на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$

Теперь найдем, какие из полученных корней принадлежат заданному промежутку.

Для серии $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$:

Решим двойное неравенство: $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \le \pi$.

Разделим все части на $\pi$: $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \le 1$.

Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей: $-\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \le \frac{k}{2} \le 1 - \frac{1}{4}$, что дает $-\frac{3}{4} \le \frac{k}{2} \le \frac{3}{4}$.

Умножим на 2: $-\frac{3}{2} \le k \le \frac{3}{2}$.

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: -1, 0, 1. Соответствующие им корни: $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{3\pi}{4}$. Все три корня принадлежат заданному промежутку.

Для серий, где $\sin(x) = -\frac{1}{2}$:

Из серии $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ при $n=0$ получаем корень $x = -\frac{\pi}{6}$, который принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. Другие целые значения $n$ дают корни за пределами этого промежутка.

Из серии $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ нет корней, принадлежащих данному промежутку, так как при $n=0$ корень $x = \frac{7\pi}{6} > \pi$, а при $n=-1$ корень $x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} < -\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$ находятся 4 различных корня: $-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: 4