Номер 369, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Тригонометрические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 369, страница 247.
№369 (с. 247)
Учебник. №369 (с. 247)
скриншот условия

369. Сколько корней уравнения $ \sin 3x - \sin x + \cos 2x = 0 $ принадлежат промежутку $ \left[ -\frac{\pi}{2}; \pi \right] $?
Решение 2. №369 (с. 247)
1. Решение уравнения
Исходное уравнение: $\sin(3x) - \sin(x) + \cos(2x) = 0$.
Для преобразования разности синусов воспользуемся формулой $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\sin(3x) - \sin(x) = 2\cos\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} = 2\cos(2x)\sin(x)$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$2\cos(2x)\sin(x) + \cos(2x) = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $\cos(2x)$:
$\cos(2x)(2\sin(x) + 1) = 0$.
Это уравнение распадается на совокупность двух уравнений: $\cos(2x) = 0$ или $2\sin(x) + 1 = 0$.
Решения первого уравнения $\cos(2x) = 0$: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Решения второго уравнения $\sin(x) = -\frac{1}{2}$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Отбор корней на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$
Теперь найдем, какие из полученных корней принадлежат заданному промежутку.
Для серии $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$:
Решим двойное неравенство: $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \le \pi$.
Разделим все части на $\pi$: $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \le 1$.
Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей: $-\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \le \frac{k}{2} \le 1 - \frac{1}{4}$, что дает $-\frac{3}{4} \le \frac{k}{2} \le \frac{3}{4}$.
Умножим на 2: $-\frac{3}{2} \le k \le \frac{3}{2}$.
Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: -1, 0, 1. Соответствующие им корни: $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{3\pi}{4}$. Все три корня принадлежат заданному промежутку.
Для серий, где $\sin(x) = -\frac{1}{2}$:
Из серии $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ при $n=0$ получаем корень $x = -\frac{\pi}{6}$, который принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. Другие целые значения $n$ дают корни за пределами этого промежутка.
Из серии $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ нет корней, принадлежащих данному промежутку, так как при $n=0$ корень $x = \frac{7\pi}{6} > \pi$, а при $n=-1$ корень $x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} < -\frac{\pi}{2}$.
Таким образом, на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$ находятся 4 различных корня: $-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: 4
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 369 расположенного на странице 247 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №369 (с. 247), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.