Номер 367, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 367, страница 247.

367. Найдите наименьший положительный корень уравнения

$\sin^2 x - 0{,}5\sin 2x = 1.$

Дано тригонометрическое уравнение:

$ \sin^2 x - 0,5 \sin 2x = 1 $

Для его решения преобразуем его, используя тригонометрические формулы. Воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ \sin^2 x - 0,5 \cdot (2 \sin x \cos x) = 1 $

$ \sin^2 x - \sin x \cos x = 1 $

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, чтобы заменить единицу в правой части уравнения:

$ \sin^2 x - \sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x $

Вычтем $ \sin^2 x $ из обеих частей уравнения:

$ - \sin x \cos x = \cos^2 x $

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$ \cos^2 x + \sin x \cos x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (\cos x + \sin x) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это приводит к двум случаям:

1) $ \cos x = 0 $

2) $ \cos x + \sin x = 0 $

Рассмотрим каждый случай.

В первом случае, $ \cos x = 0 $, решениями являются $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — целое число. Нам нужно найти наименьший положительный корень. При $ k=0 $ получаем $ x = \frac{\pi}{2} $. Это наименьший положительный корень для данного случая.

Во втором случае, $ \cos x + \sin x = 0 $, что эквивалентно $ \sin x = -\cos x $. Заметим, что $ \cos x $ не может быть равен нулю (иначе и $ \sin x $ был бы равен нулю, что противоречит тождеству $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $). Поэтому можно разделить обе части на $ \cos x $, получив $ \tan x = -1 $. Решениями этого уравнения являются $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n $ — целое число. Наименьший положительный корень в этой серии получается при $ n=1 $ и равен $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} $.

Мы получили два наименьших положительных корня из двух серий решений: $ \frac{\pi}{2} $ и $ \frac{3\pi}{4} $. Теперь нужно выбрать наименьший из них.

Сравним $ \frac{\pi}{2} $ и $ \frac{3\pi}{4} $. Приводя к общему знаменателю, имеем $ \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4} $. Так как $ \frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} $, то наименьшим из этих двух корней является $ \frac{\pi}{2} $.

Следовательно, наименьший положительный корень исходного уравнения равен $ \frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $