Номер 267, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Иррациональные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 267, страница 237.

267.Найдите сумму корней уравнения $\sqrt{3-x} + \sqrt{x+2} = 3$.

Для решения иррационального уравнения $\sqrt{3-x} + \sqrt{x+2} = 3$ сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$3 - x \ge 0 \implies x \le 3$

$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$

Таким образом, ОДЗ для $x$ есть промежуток $[-2, 3]$.

Теперь решим само уравнение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3-x} + \sqrt{x+2})^2 = 3^2$

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{3-x})^2 + 2\sqrt{(3-x)(x+2)} + (\sqrt{x+2})^2 = 9$

$3 - x + 2\sqrt{3x + 6 - x^2 - 2x} + x + 2 = 9$

Приведем подобные слагаемые:

$5 + 2\sqrt{-x^2 + x + 6} = 9$

Уединим радикал:

$2\sqrt{-x^2 + x + 6} = 9 - 5$

$2\sqrt{-x^2 + x + 6} = 4$

$\sqrt{-x^2 + x + 6} = 2$

Снова возведем обе части в квадрат:

$-x^2 + x + 6 = 4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-x^2 + x + 6 - 4 = 0$

$-x^2 + x + 2 = 0$

Умножим обе части на $-1$ для удобства:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти дискриминант.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $[-2, 3]$.

Для $x_1 = 2$: $-2 \le 2 \le 3$. Корень подходит.

Для $x_2 = -1$: $-2 \le -1 \le 3$. Корень подходит.

Так как при решении мы возводили уравнение в квадрат, необходимо выполнить проверку подстановкой найденных корней в исходное уравнение $\sqrt{3-x} + \sqrt{x+2} = 3$.

При $x=2$: $\sqrt{3-2} + \sqrt{2+2} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$. Верно.

При $x=-1$: $\sqrt{3-(-1)} + \sqrt{-1+2} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$. Верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Найдем сумму корней: $2 + (-1) = 1$.

Ответ: 1