Номер 270, страница 238 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Функции и их свойства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 270, страница 238.

270. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{6-x}}$;

2) $f(x) = \frac{1}{x^2-2}$;

3) $f(x) = \frac{7x+14}{x^2-7x}$;

4) $f(x) = \frac{x}{|x|-1}$;

5) $f(x) = \sqrt[6]{x+6} + \sqrt[8]{4-x}$;

6) $f(x) = \sqrt{x-7} + \frac{x+2}{x-8}$;

7) $f(x) = \sqrt{x-5} + \sqrt{5-x}$;

8) $f(x) = \sqrt{x-4} + \frac{6}{\sqrt{2-x}}$;

9) $f(x) = \sqrt{x^2+4x-21} - \frac{6}{x^2-49}$;

10) $f(x) = \sqrt[7]{\frac{x-3}{x+4}}$;

11) $f(x) = \sqrt{\frac{(x+3)(x-2)}{x}}$;

12) $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-6x+9}{x^2-5x+4}}$

1) Функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{6-x}}$ определена, если выполнены два условия:

• Подкоренное выражение корня четной степени (четвертой) должно быть неотрицательным: $6-x \ge 0$.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $\sqrt[4]{6-x} \ne 0$, что равносильно $6-x \ne 0$.

Объединяя эти два условия, получаем одно строгое неравенство:
$6-x > 0$
$6 > x$, или $x < 6$.
Таким образом, область определения функции — это все числа, меньшие 6.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 6)$.

2) Функция $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2}$ определена, если ее знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 2 \ne 0$
$x^2 \ne 2$
$x \ne \sqrt{2}$ и $x \ne -\sqrt{2}$.
Область определения — все действительные числа, кроме $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

3) Функция $f(x) = \frac{7x+14}{x^2-7x}$ определена, если ее знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 7x \ne 0$
$x(x - 7) \ne 0$
Это произведение не равно нулю, если ни один из множителей не равен нулю, то есть:
$x \ne 0$ и $x - 7 \ne 0$
$x \ne 0$ и $x \ne 7$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 7) \cup (7; +\infty)$.

4) Функция $f(x) = \frac{x}{|x|-1}$ определена, если ее знаменатель не равен нулю.
$|x| - 1 \ne 0$
$|x| \ne 1$
Это означает, что $x \ne 1$ и $x \ne -1$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

5) Функция $f(x) = \sqrt[6]{x+6} + \sqrt[8]{4-x}$ является суммой двух корней четной степени. Она определена, если оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} x+6 \ge 0 \\ 4-x \ge 0 \end{cases}$
Решаем каждое неравенство:
$\begin{cases} x \ge -6 \\ x \le 4 \end{cases}$
Решением системы является пересечение этих двух условий, то есть отрезок от -6 до 4 включительно.

Ответ: $D(f) = [-6; 4]$.

6) Функция $f(x) = \sqrt{x-7} + \frac{x+2}{x-8}$ определена, если выполнены два условия:

• Подкоренное выражение неотрицательно: $x-7 \ge 0 \implies x \ge 7$.
• Знаменатель дроби не равен нулю: $x-8 \ne 0 \implies x \ne 8$.

Необходимо найти все числа, которые больше или равны 7, за исключением числа 8.

Ответ: $D(f) = [7; 8) \cup (8; +\infty)$.

7) Функция $f(x) = \sqrt{x-5} + \sqrt{5-x}$ определена, если оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} x-5 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 5 \\ x \le 5 \end{cases}$
Единственное число, которое одновременно больше или равно 5 и меньше или равно 5, это само число 5.

Ответ: $D(f) = \{5\}$.

8) Функция $f(x) = \sqrt{x-4} + \frac{6}{\sqrt{2-x}}$ определена, если выполнены два условия:

• Подкоренное выражение первого слагаемого неотрицательно: $x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$.
• Подкоренное выражение в знаменателе второго слагаемого строго положительно: $2-x > 0 \implies x < 2$.

Нужно найти значения $x$, удовлетворяющие обоим условиям одновременно: $x \ge 4$ и $x < 2$. Таких значений $x$ не существует, так как эти два множества не пересекаются.

Ответ: $D(f) = \varnothing$.

9) Функция $f(x) = \sqrt{x^2+4x-21} - \frac{6}{x^2-49}$ определена, если:

• Подкоренное выражение неотрицательно: $x^2+4x-21 \ge 0$.
• Знаменатель дроби не равен нулю: $x^2-49 \ne 0$.

1. Решим неравенство $x^2+4x-21 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2+4x-21 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -7$, $x_2 = 3$. График функции $y=x^2+4x-21$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при $x \le -7$ или $x \ge 3$. То есть, $x \in (-\infty; -7] \cup [3; +\infty)$.

2. Решим условие $x^2-49 \ne 0$. Это означает $x^2 \ne 49$, то есть $x \ne 7$ и $x \ne -7$.

3. Совместим оба условия: из множества $(-\infty; -7] \cup [3; +\infty)$ нужно исключить точки -7 и 7. Точка -7 исключается, а точка 7 и так не входила в промежуток до 3, но ее нужно учесть для промежутка $x \ge 3$.
Из $(-\infty; -7]$ исключаем -7, получаем $(-\infty; -7)$.
Из $[3; +\infty)$ исключаем 7, получаем $[3; 7) \cup (7; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -7) \cup [3; 7) \cup (7; +\infty)$.

10) Функция $f(x) = \sqrt[7]{\frac{x-3}{x+4}}$ содержит корень нечетной степени. Выражение под корнем нечетной степени может быть любым действительным числом. Единственное ограничение связано с дробью внутри корня: ее знаменатель не должен быть равен нулю.
$x+4 \ne 0$
$x \ne -4$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

11) Функция $f(x) = \sqrt{\frac{(x+3)(x-2)}{x}}$ определена, если подкоренное выражение неотрицательно:
$\frac{(x+3)(x-2)}{x} \ge 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = -3$, $x = 2$. Нуль знаменателя: $x = 0$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Отметим, что $x=-3$ и $x=2$ входят в решение, а $x=0$ - нет.
Проверим знаки на интервалах:
- $(-\infty; -3]$: возьмем $x=-4$. $\frac{(-)(-)_ }{(-)} < 0$.
- $[-3; 0)$: возьмем $x=-1$. $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$.
- $(0; 2]$: возьмем $x=1$. $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$.
- $[2; +\infty)$: возьмем $x=3$. $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $D(f) = [-3; 0) \cup [2; +\infty)$.

12) Функция $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-6x+9}{x^2-5x+4}}$ определена, если подкоренное выражение неотрицательно:
$\frac{x^2-6x+9}{x^2-5x+4} \ge 0$.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
$x^2-6x+9 = (x-3)^2$
$x^2-5x+4 = (x-1)(x-4)$
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x-3)^2}{(x-1)(x-4)} \ge 0$.
Числитель $(x-3)^2$ всегда неотрицателен. Он равен 0 при $x=3$ и положителен в остальных случаях.
Следовательно, дробь $\ge 0$ если:
1. Она равна 0. Это происходит, когда $x=3$ (числитель равен 0, знаменатель не равен 0). Так что $x=3$ входит в область определения.
2. Она строго больше 0. Это происходит, когда числитель и знаменатель положительны. Так как $(x-3)^2 > 0$ при $x \ne 3$, нам нужно, чтобы знаменатель был положителен: $(x-1)(x-4) > 0$. Решением этого неравенства являются $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.
Объединяя оба случая, получаем итоговую область определения.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 1) \cup \{3\} \cup (4; +\infty)$.