Номер 276, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Функции и их свойства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 276, страница 239.

276. Найдите область определения и постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 8x + 16}{4 - x};$

2) $f(x) = \frac{4x - 16}{x^2 - 4x};$

3) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4};$

4) $f(x) = \frac{x^3 - 5x^2 + 6x}{x - 3}.$

1) $f(x) = \frac{x^2 - 8x + 16}{4 - x}$

Сначала найдем область определения функции. Область определения состоит из всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

Знаменатель $4 - x = 0$ при $x = 4$.

Следовательно, область определения функции: $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции. Заметим, что числитель является полным квадратом:

$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.

Тогда функцию можно переписать в виде:

$f(x) = \frac{(x-4)^2}{4-x} = \frac{(x-4)^2}{-(x-4)}$.

При $x \neq 4$ мы можем сократить дробь на $(x-4)$:

$f(x) = -(x-4) = 4-x$.

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = 4 - x$ при всех $x$, кроме $x = 4$. Графиком функции $y = 4 - x$ является прямая. В точке с абсциссой $x = 4$ на графике будет "выколотая" точка. Найдем ее ординату:

$y = 4 - 4 = 0$.

Координаты выколотой точки — (4, 0). Для построения прямой найдем еще две точки, например, (0, 4) и (2, 2).

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. График функции — прямая $y = 4 - x$ с выколотой точкой (4, 0).

2) $f(x) = \frac{4x - 16}{x^2 - 4x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 - 4x \neq 0$

$x(x-4) \neq 0$

Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq 4$.

Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 4) \cup (4; +\infty)$.

Упростим функцию, разложив числитель и знаменатель на множители:

$f(x) = \frac{4(x-4)}{x(x-4)}$.

При $x \neq 4$ и $x \neq 0$ можем сократить на $(x-4)$:

$f(x) = \frac{4}{x}$.

Графиком функции является гипербола $y = \frac{4}{x}$. Ограничение $x \neq 0$ является вертикальной асимптотой этой гиперболы. Ограничение $x \neq 4$ приводит к появлению выколотой точки на графике. Найдем ее координаты:

$y = \frac{4}{4} = 1$.

Координаты выколотой точки — (4, 1).

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 4) \cup (4; +\infty)$. График функции — гипербола $y = \frac{4}{x}$ с выколотой точкой (4, 1).

3) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4}$

Найдем область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 - 4 \neq 0$

$(x-2)(x+2) \neq 0$

Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Область определения: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Упростим функцию. В области определения числитель и знаменатель равны и не равны нулю, поэтому их частное равно 1.

$f(x) = 1$ при $x \neq \pm 2$.

Графиком функции является горизонтальная прямая $y = 1$. На этой прямой будут две выколотые точки, соответствующие значениям $x=-2$ и $x=2$.

Координаты выколотых точек: $(-2, 1)$ и $(2, 1)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$. График функции — прямая $y=1$ с выколотыми точками $(-2, 1)$ и $(2, 1)$.

4) $f(x) = \frac{x^3 - 5x^2 + 6x}{x - 3}$

Найдем область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x - 3 \neq 0$, следовательно $x \neq 3$.

Область определения: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Упростим функцию. Разложим числитель на множители. Сначала вынесем $x$ за скобки:

$x^3 - 5x^2 + 6x = x(x^2 - 5x + 6)$.

Теперь разложим квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$. Его корни $x_1=2, x_2=3$. Поэтому $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.

Функция примет вид:

$f(x) = \frac{x(x-2)(x-3)}{x-3}$.

При $x \neq 3$ можем сократить на $(x-3)$:

$f(x) = x(x-2) = x^2 - 2x$.

Графиком функции является парабола $y = x^2 - 2x$ с выколотой точкой при $x = 3$. Найдем ее координаты:

$y = 3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3$.

Координаты выколотой точки — (3, 3). Парабола $y = x^2 - 2x$ имеет ветви, направленные вверх. Координаты ее вершины: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$, $y_v = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$. Вершина — (1, -1). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=0$ и $x=2$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. График функции — парабола $y = x^2 - 2x$ с выколотой точкой (3, 3).