Номер 274, страница 238 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Функции и их свойства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 274, страница 238.

274. Постройте график данной функции и, пользуясь им, укажите промежутки знакопостоянства функции, её промежутки возрастания и промежутки убывания:

1) $y = 2 - x^2$;

2) $y = (x + 4)^2$;

3) $y = 8 - 2x - x^2$;

4) $y = x^2 - 2x + 3$;

5) $y = \frac{4}{x} + 1$;

6) $y = \frac{4}{x - 2}$;

7) $y = \frac{2x + 14}{x + 3}$;

8) $y = -\sqrt{x}$;

9) $y = \sqrt{-x}$;

10) $y = x^{-2} + 2$;

11) $y = \sqrt[3]{x} - 2$;

12) $y = \sqrt[4]{x} + 1$.

1) $y = 2 - x^2$

Это квадратичная функция $y = -x^2 + 2$. Её график — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). График можно получить из графика параболы $y = -x^2$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$.

Найдём нули функции (точки пересечения с осью $Ox$):
$2 - x^2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

Построим эскиз графика. Это парабола с вершиной в $(0, 2)$, пересекающая ось $Ox$ в точках $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$.
Промежутки знакопостоянства:
Функция положительна ($y > 0$), когда её график находится выше оси $Ox$. Это происходит между корнями: $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.
Функция отрицательна ($y < 0$), когда её график находится ниже оси $Ox$. Это происходит левее $-\sqrt{2}$ и правее $\sqrt{2}$: $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Вершина параболы находится при $x=0$. Так как ветви направлены вниз, функция возрастает до вершины и убывает после неё.
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$.
Функция убывает на промежутке $[0, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.
Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$.
Промежуток убывания: $[0, \infty)$.

---

2) $y = (x+4)^2$

Это квадратичная функция. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. График можно получить из графика параболы $y = x^2$ сдвигом на 4 единицы влево по оси $Ox$. Вершина параболы находится в точке $(-4, 0)$.

Нуль функции: $(x+4)^2 = 0 \implies x = -4$. График касается оси $Ox$ в точке $(-4, 0)$.

Промежутки знакопостоянства:
Так как вершина находится на оси $Ox$ и ветви направлены вверх, функция неотрицательна на всей области определения. $y > 0$ при всех $x$, кроме $x=-4$. То есть, $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, \infty)$.
$y < 0$ ни при каких $x$.

Промежутки возрастания и убывания:
Вершина параболы находится при $x=-4$. Так как ветви направлены вверх, функция убывает до вершины и возрастает после неё.
Функция убывает на промежутке $(-\infty, -4]$.
Функция возрастает на промежутке $[-4, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, \infty)$.
Промежуток убывания: $(-\infty, -4]$.
Промежуток возрастания: $[-4, \infty)$.

---

3) $y = 8 - 2x - x^2$

Это квадратичная функция $y = -x^2 - 2x + 8$. Её график — парабола с ветвями, направленными вниз.
Найдём вершину параболы. Координата $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2(-1)} = \frac{2}{-2} = -1$.
Координата $y_v = 8 - 2(-1) - (-1)^2 = 8 + 2 - 1 = 9$.
Вершина находится в точке $(-1, 9)$.

Найдём нули функции: $-x^2 - 2x + 8 = 0 \implies x^2 + 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Промежутки знакопостоянства:
График — парабола с ветвями вниз, пересекающая ось $Ox$ в точках $-4$ и $2$.
$y > 0$ между корнями: $x \in (-4, 2)$.
$y < 0$ вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Вершина находится в $x=-1$. Ветви направлены вниз.
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$.
Функция убывает на промежутке $[-1, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-4, 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty)$.
Промежуток возрастания: $(-\infty, -1]$.
Промежуток убывания: $[-1, \infty)$.

---

4) $y = x^2 - 2x + 3$

Это квадратичная функция. График — парабола с ветвями, направленными вверх.
Найдём вершину: $x_v = \frac{-(-2)}{2(1)} = 1$.
$y_v = 1^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.
Вершина находится в точке $(1, 2)$.

Найдём нули функции: $x^2 - 2x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8 < 0$. Действительных корней нет, график не пересекает ось $Ox$.

Промежутки знакопостоянства:
Так как вершина параболы $(1, 2)$ находится выше оси $Ox$ и ветви направлены вверх, вся парабола лежит выше оси $Ox$.
$y > 0$ при всех действительных $x$, то есть $x \in (-\infty, \infty)$.
Промежутков, где $y < 0$, нет.

Промежутки возрастания и убывания:
Вершина находится в $x=1$. Ветви направлены вверх.
Функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.
Функция возрастает на промежутке $[1, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty, \infty)$.
Промежуток убывания: $(-\infty, 1]$.
Промежуток возрастания: $[1, \infty)$.

---

5) $y = \frac{4}{x} + 1$

График этой функции — гипербола. Его можно получить из графика $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 1 единицу вверх по оси $Oy$. Асимптоты: вертикальная $x=0$, горизонтальная $y=1$.

Нули функции: $\frac{4}{x} + 1 = 0 \implies \frac{4}{x} = -1 \implies x = -4$.

Промежутки знакопостоянства:
Точки, меняющие знак функции: нуль $x=-4$ и точка разрыва $x=0$.
На интервале $(-\infty, -4)$: $y > 0$.
На интервале $(-4, 0)$: $y < 0$.
На интервале $(0, \infty)$: $y > 0$.
Таким образом, $y > 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (0, \infty)$; $y < 0$ при $x \in (-4, 0)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция $y=k/x$ при $k>0$ убывает на каждом из промежутков области определения. Функция убывает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (0, \infty)$; $y < 0$ при $x \in (-4, 0)$.
Промежутки убывания: $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.
Промежутков возрастания нет.

---

6) $y = \frac{4}{x-2}$

График этой функции — гипербола. Его можно получить из графика $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо по оси $Ox$. Асимптоты: вертикальная $x=2$, горизонтальная $y=0$.

Нули функции: $\frac{4}{x-2} = 0$. Решений нет, график не пересекает ось $Ox$.

Промежутки знакопостоянства:
Знак функции зависит от знака знаменателя $x-2$.
$y > 0$ при $x-2 > 0 \implies x > 2$, то есть $x \in (2, \infty)$.
$y < 0$ при $x-2 < 0 \implies x < 2$, то есть $x \in (-\infty, 2)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает на каждом из промежутков области определения.
Функция убывает на промежутках $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (2, \infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 2)$.
Промежутки убывания: $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$.
Промежутков возрастания нет.

---

7) $y = \frac{2x+14}{x+3}$

Преобразуем функцию, выделив целую часть:
$y = \frac{2(x+3) - 6 + 14}{x+3} = \frac{2(x+3) + 8}{x+3} = 2 + \frac{8}{x+3}$.
График — гипербола, полученная из графика $y = \frac{8}{x}$ сдвигом на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх.
Асимптоты: вертикальная $x=-3$, горизонтальная $y=2$.

Нули функции: $\frac{2x+14}{x+3} = 0 \implies 2x+14=0 \implies x = -7$.

Промежутки знакопостоянства:
Точки, меняющие знак: $x=-7$ и $x=-3$.
На интервале $(-\infty, -7)$: $y > 0$.
На интервале $(-7, -3)$: $y < 0$.
На интервале $(-3, \infty)$: $y > 0$.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, -7) \cup (-3, \infty)$; $y < 0$ при $x \in (-7, -3)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает на каждом из промежутков области определения.
Функция убывает на промежутках $(-\infty, -3)$ и $(-3, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -7) \cup (-3, \infty)$; $y < 0$ при $x \in (-7, -3)$.
Промежутки убывания: $(-\infty, -3)$ и $(-3, \infty)$.
Промежутков возрастания нет.

---

8) $y = -\sqrt{x}$

График функции — ветвь параболы $x=y^2$, расположенная в четвертой координатной четверти. Его можно получить, отразив график $y=\sqrt{x}$ относительно оси $Ox$. Область определения: $x \geq 0$.

Нули функции: $-\sqrt{x} = 0 \implies x=0$.

Промежутки знакопостоянства:
При $x > 0$, $\sqrt{x} > 0$, значит $-\sqrt{x} < 0$.
$y < 0$ при $x \in (0, \infty)$.
Промежутков, где $y>0$, нет.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает на всей области определения.
Функция убывает на промежутке $[0, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (0, \infty)$.
Промежуток убывания: $[0, \infty)$.
Промежутков возрастания нет.

---

9) $y = \sqrt{-x}$

График функции — ветвь параболы $x=-y^2$, расположенная во второй координатной четверти. Его можно получить, отразив график $y=\sqrt{x}$ относительно оси $Oy$. Область определения: $-x \geq 0 \implies x \leq 0$.

Нули функции: $\sqrt{-x} = 0 \implies x=0$.

Промежутки знакопостоянства:
При $x < 0$, $-x > 0$, значит $\sqrt{-x} > 0$.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, 0)$.
Промежутков, где $y<0$, нет.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает на всей области определения.
Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 0)$.
Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$.
Промежутков возрастания нет.

---

10) $y = x^{-2} + 2$

Функцию можно записать как $y = \frac{1}{x^2} + 2$. График получается из графика $y = \frac{1}{x^2}$ сдвигом на 2 единицы вверх. Функция четная, график симметричен относительно оси $Oy$. Асимптоты: вертикальная $x=0$, горизонтальная $y=2$. Область определения $x \neq 0$.

Нули функции: $\frac{1}{x^2} + 2 = 0 \implies \frac{1}{x^2} = -2$. Решений нет.

Промежутки знакопостоянства:
Так как $x^2 > 0$ для всех $x \neq 0$, то $\frac{1}{x^2} > 0$. Следовательно, $y = \frac{1}{x^2} + 2 > 2$ для всех $x$ из области определения.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:
На промежутке $(-\infty, 0)$ функция возрастает.
На промежутке $(0, \infty)$ функция убывает.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.
Промежуток возрастания: $(-\infty, 0)$.
Промежуток убывания: $(0, \infty)$.

---

11) $y = \sqrt[3]{x} - 2$

График функции получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ сдвигом на 2 единицы вниз по оси $Oy$. Область определения: все действительные числа, $x \in (-\infty, \infty)$.

Нули функции: $\sqrt[3]{x} - 2 = 0 \implies \sqrt[3]{x} = 2 \implies x = 8$.

Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $\sqrt[3]{x} > 2 \implies x > 8$, то есть $x \in (8, \infty)$.
$y < 0$ при $\sqrt[3]{x} < 2 \implies x < 8$, то есть $x \in (-\infty, 8)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция $y=\sqrt[3]{x}$ возрастает на всей числовой оси. Сдвиг не меняет монотонность. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (8, \infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 8)$.
Промежуток возрастания: $(-\infty, \infty)$.
Промежутков убывания нет.

---

12) $y = \sqrt[4]{x+1}$

График функции получается из графика $y = \sqrt[4]{x}$ сдвигом на 1 единицу влево по оси $Ox$. Область определения: $x+1 \geq 0 \implies x \geq -1$.

Нули функции: $\sqrt[4]{x+1} = 0 \implies x+1=0 \implies x = -1$.

Промежутки знакопостоянства:
Корень четной степени всегда неотрицателен.
$y > 0$ при $x+1 > 0 \implies x > -1$, то есть $x \in (-1, \infty)$.
Промежутков, где $y<0$, нет.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция $y=\sqrt[4]{x}$ возрастает на своей области определения. Функция возрастает на всей своей области определения, то есть на промежутке $[-1, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-1, \infty)$.
Промежуток возрастания: $[-1, \infty)$.
Промежутков убывания нет.