Номер 272, страница 238 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Функции и их свойства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 272, страница 238.
№272 (с. 238)
Учебник. №272 (с. 238)
скриншот условия

272. Найдите область значений функции:
1) $y = \sqrt{x^2 + 16} - 9;$
2) $y = 4 + |x|;$
3) $y = \sqrt{-x^2};$
4) $y = -x^2 + 8x - 16;$
5) $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x;$
6) $y = \frac{1}{1 + x^2}.$
Решение 2. №272 (с. 238)
1) $y = \sqrt{x^2 + 16} - 9$
Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$.
Рассмотрим выражение под корнем: $x^2 + 16$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$, то наименьшее значение выражения $x^2$ равно 0 (при $x=0$).
Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения $x^2 + 16$ равно $0 + 16 = 16$.
Так как $x^2$ может быть сколь угодно большим, то $x^2 + 16$ принимает значения из промежутка $[16, +\infty)$.
Функция квадратного корня является возрастающей, поэтому наименьшее значение выражения $\sqrt{x^2 + 16}$ равно $\sqrt{16} = 4$. Значения этого выражения принадлежат промежутку $[4, +\infty)$.
Наконец, вычитая 9, получаем, что значения функции $y$ принадлежат промежутку $[4-9, +\infty)$, то есть $[-5, +\infty)$.
Ответ: $E(y) = [-5, +\infty)$.
2) $y = 4 + |x|$
Модуль числа $|x|$ по определению неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$.
Наименьшее значение $|x|$ равно 0, которое достигается при $x=0$.
Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $4 + 0 = 4$.
Поскольку $|x|$ может принимать любое неотрицательное значение, то $y$ может принимать любое значение, начиная с 4 и больше.
Таким образом, область значений функции — это промежуток $[4, +\infty)$.
Ответ: $E(y) = [4, +\infty)$.
3) $y = \sqrt{-x^2}$
Функция определена только в том случае, если выражение под знаком корня неотрицательно: $-x^2 \ge 0$.
Мы знаем, что $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Умножая это неравенство на -1, получаем $-x^2 \le 0$.
Единственное значение $x$, для которого одновременно выполняются условия $-x^2 \ge 0$ и $-x^2 \le 0$, это $-x^2 = 0$, что означает $x=0$.
Следовательно, область определения функции состоит из одной точки $x=0$.
Найдем значение функции в этой точке: $y = \sqrt{-(0)^2} = \sqrt{0} = 0$.
Таким образом, область значений функции состоит из одного числа 0.
Ответ: $E(y) = \{0\}$.
4) $y = -x^2 + 8x - 16$
Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), значит, ветви параболы направлены вниз.
Следовательно, функция имеет максимальное значение в вершине параболы.
Выделим полный квадрат, чтобы найти вершину: $y = -x^2 + 8x - 16 = -(x^2 - 8x + 16) = -(x-4)^2$.
Выражение $(x-4)^2$ всегда неотрицательно: $(x-4)^2 \ge 0$.
Тогда выражение $-(x-4)^2$ всегда неположительно: $-(x-4)^2 \le 0$.
Максимальное значение, равное 0, достигается при $x-4=0$, то есть при $x=4$.
Таким образом, область значений функции — это промежуток $(-\infty, 0]$.
Ответ: $E(y) = (-\infty, 0]$.
5) $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x$
Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{3}$ (отрицательный), поэтому ветви параболы направлены вниз.
Максимальное значение функции находится в ее вершине. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ можно найти по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.
В нашем случае $a = -\frac{1}{3}$ и $b = 2$.
Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = -\frac{2}{-\frac{2}{3}} = 3$.
Найдем ординату вершины (максимальное значение функции): $y_0 = -\frac{1}{3}(3)^2 + 2(3) = -\frac{1}{3} \cdot 9 + 6 = -3 + 6 = 3$.
Так как ветви параболы направлены вниз, область значений функции — это все числа, не превосходящие 3.
Ответ: $E(y) = (-\infty, 3]$.
6) $y = \frac{1}{1 + x^2}$
Рассмотрим знаменатель дроби: $1 + x^2$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для всех действительных $x$, то знаменатель $1+x^2 \ge 1$. Он всегда положителен.
Дробь $\frac{1}{1+x^2}$ будет принимать наибольшее значение, когда ее знаменатель принимает наименьшее значение.
Наименьшее значение знаменателя равно 1 (при $x=0$). Соответственно, наибольшее значение функции: $y_{max} = \frac{1}{1} = 1$.
Когда $|x|$ неограниченно возрастает, $x^2$ также неограниченно возрастает, и знаменатель $1+x^2$ стремится к $+\infty$. В этом случае значение дроби стремится к 0, но никогда его не достигает.
Поскольку знаменатель всегда положителен, вся дробь также всегда положительна. Таким образом, $y > 0$.
Объединяя эти наблюдения, получаем, что область значений функции — это полуинтервал $(0, 1]$.
Ответ: $E(y) = (0, 1]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 272 расположенного на странице 238 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №272 (с. 238), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.