Номер 272, страница 238 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Функции и их свойства - номер 272, страница 238.

Учебник.

272. Найдите область значений функции:

1) $y = \sqrt{x^2 + 16} - 9;$

2) $y = 4 + |x|;$

3) $y = \sqrt{-x^2};$

4) $y = -x^2 + 8x - 16;$

5) $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x;$

6) $y = \frac{1}{1 + x^2}.$

Решение 2.

1) $y = \sqrt{x^2 + 16} - 9$

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$.

Рассмотрим выражение под корнем: $x^2 + 16$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$, то наименьшее значение выражения $x^2$ равно 0 (при $x=0$).

Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения $x^2 + 16$ равно $0 + 16 = 16$.

Так как $x^2$ может быть сколь угодно большим, то $x^2 + 16$ принимает значения из промежутка $[16, +\infty)$.

Функция квадратного корня является возрастающей, поэтому наименьшее значение выражения $\sqrt{x^2 + 16}$ равно $\sqrt{16} = 4$. Значения этого выражения принадлежат промежутку $[4, +\infty)$.

Наконец, вычитая 9, получаем, что значения функции $y$ принадлежат промежутку $[4-9, +\infty)$, то есть $[-5, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [-5, +\infty)$.

2) $y = 4 + |x|$

Модуль числа $|x|$ по определению неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$.

Наименьшее значение $|x|$ равно 0, которое достигается при $x=0$.

Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $4 + 0 = 4$.

Поскольку $|x|$ может принимать любое неотрицательное значение, то $y$ может принимать любое значение, начиная с 4 и больше.

Таким образом, область значений функции — это промежуток $[4, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [4, +\infty)$.

3) $y = \sqrt{-x^2}$

Функция определена только в том случае, если выражение под знаком корня неотрицательно: $-x^2 \ge 0$.

Мы знаем, что $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Умножая это неравенство на -1, получаем $-x^2 \le 0$.

Единственное значение $x$, для которого одновременно выполняются условия $-x^2 \ge 0$ и $-x^2 \le 0$, это $-x^2 = 0$, что означает $x=0$.

Следовательно, область определения функции состоит из одной точки $x=0$.

Найдем значение функции в этой точке: $y = \sqrt{-(0)^2} = \sqrt{0} = 0$.

Таким образом, область значений функции состоит из одного числа 0.

Ответ: $E(y) = \{0\}$.

4) $y = -x^2 + 8x - 16$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), значит, ветви параболы направлены вниз.

Следовательно, функция имеет максимальное значение в вершине параболы.

Выделим полный квадрат, чтобы найти вершину: $y = -x^2 + 8x - 16 = -(x^2 - 8x + 16) = -(x-4)^2$.

Выражение $(x-4)^2$ всегда неотрицательно: $(x-4)^2 \ge 0$.

Тогда выражение $-(x-4)^2$ всегда неположительно: $-(x-4)^2 \le 0$.

Максимальное значение, равное 0, достигается при $x-4=0$, то есть при $x=4$.

Таким образом, область значений функции — это промежуток $(-\infty, 0]$.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 0]$.

5) $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x$

Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{3}$ (отрицательный), поэтому ветви параболы направлены вниз.

Максимальное значение функции находится в ее вершине. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ можно найти по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.

В нашем случае $a = -\frac{1}{3}$ и $b = 2$.

Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = -\frac{2}{-\frac{2}{3}} = 3$.

Найдем ординату вершины (максимальное значение функции): $y_0 = -\frac{1}{3}(3)^2 + 2(3) = -\frac{1}{3} \cdot 9 + 6 = -3 + 6 = 3$.

Так как ветви параболы направлены вниз, область значений функции — это все числа, не превосходящие 3.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 3]$.

6) $y = \frac{1}{1 + x^2}$

Рассмотрим знаменатель дроби: $1 + x^2$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для всех действительных $x$, то знаменатель $1+x^2 \ge 1$. Он всегда положителен.

Дробь $\frac{1}{1+x^2}$ будет принимать наибольшее значение, когда ее знаменатель принимает наименьшее значение.

Наименьшее значение знаменателя равно 1 (при $x=0$). Соответственно, наибольшее значение функции: $y_{max} = \frac{1}{1} = 1$.

Когда $|x|$ неограниченно возрастает, $x^2$ также неограниченно возрастает, и знаменатель $1+x^2$ стремится к $+\infty$. В этом случае значение дроби стремится к 0, но никогда его не достигает.

Поскольку знаменатель всегда положителен, вся дробь также всегда положительна. Таким образом, $y > 0$.

Объединяя эти наблюдения, получаем, что область значений функции — это полуинтервал $(0, 1]$.

Ответ: $E(y) = (0, 1]$.