Номер 269, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Иррациональные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 269, страница 237.

269. Найдите целые корни уравнения $\sqrt{2 - x} + \sqrt[6]{x + 3} = 3$.

Для решения уравнения $\sqrt{2-x} + \sqrt[6]{x+3} = 3$ найдем сначала область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

1. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $2 - x \geq 0$, что эквивалентно $x \leq 2$.

2. Выражение под корнем шестой степени также должно быть неотрицательным: $x + 3 \geq 0$, что эквивалентно $x \geq -3$.

Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ для $x$: $-3 \leq x \leq 2$.

По условию задачи, нам необходимо найти целые корни. Целые числа, принадлежащие найденной области допустимых значений, это: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$. Проверим каждое из этих значений путем подстановки в исходное уравнение.

• При $x = -3$: $\sqrt{2 - (-3)} + \sqrt[6]{-3 + 3} = \sqrt{5} + \sqrt[6]{0} = \sqrt{5} \neq 3$.
• При $x = -2$: $\sqrt{2 - (-2)} + \sqrt[6]{-2 + 3} = \sqrt{4} + \sqrt[6]{1} = 2 + 1 = 3$. Равенство верно, значит $x = -2$ является корнем уравнения.
• При $x = -1$: $\sqrt{2 - (-1)} + \sqrt[6]{-1 + 3} = \sqrt{3} + \sqrt[6]{2} \neq 3$.
• При $x = 0$: $\sqrt{2 - 0} + \sqrt[6]{0 + 3} = \sqrt{2} + \sqrt[6]{3} \neq 3$.
• При $x = 1$: $\sqrt{2 - 1} + \sqrt[6]{1 + 3} = \sqrt{1} + \sqrt[6]{4} = 1 + \sqrt[3]{2} \neq 3$.
• При $x = 2$: $\sqrt{2 - 2} + \sqrt[6]{2 + 3} = \sqrt{0} + \sqrt[6]{5} = \sqrt[6]{5} \neq 3$.

Единственным целым числом из ОДЗ, которое удовлетворяет уравнению, является $x = -2$.

Для дополнительного анализа и подтверждения единственности решения можно использовать метод замены переменных. Пусть $a = \sqrt{2-x}$ и $b = \sqrt[6]{x+3}$. Так как корни арифметические, $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Тогда исходное уравнение принимает вид $a+b=3$.

Выразим $x$ через $a$ и $b$: $a^2 = 2-x \implies x = 2 - a^2$. $b^6 = x+3 \implies x = b^6 - 3$.

Приравняем выражения для $x$: $2 - a^2 = b^6 - 3 \implies a^2 + b^6 = 5$.

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} a + b = 3 \\ a^2 + b^6 = 5 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a = 3-b$ и подставим во второе: $(3-b)^2 + b^6 = 5$ $9 - 6b + b^2 + b^6 = 5$ $b^6 + b^2 - 6b + 4 = 0$

Мы уже знаем, что целому корню $x = -2$ соответствует значение $b = \sqrt[6]{-2+3} = \sqrt[6]{1} = 1$. Проверим, является ли $b=1$ корнем полученного полиномиального уравнения: $1^6 + 1^2 - 6(1) + 4 = 1 + 1 - 6 + 4 = 0$. Это верное равенство, что подтверждает правильность найденного решения. Анализ функции $g(b) = b^6 + b^2 - 6b + 4$ показывает, что у нее есть только два действительных корня: $b=1$ и еще один иррациональный корень. Иррациональный корень для $b$ приведет к иррациональному значению $x$, поэтому единственным целым решением исходного уравнения является то, которое соответствует $b=1$.

Ответ: -2