Номер 266, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Иррациональные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 266, страница 237.

266. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3x - 2} = \sqrt{4x + 3};$

2) $\sqrt{3x - 3} = \sqrt{4x^2 - 6x - 1};$

3) $\sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x - 4} = 2;$

4) $\sqrt{x + 7} = x + 5;$

5) $\sqrt{x^2 + 2x - 12} = \sqrt{3x};$

6) $\sqrt{x^2 + x - 4} = \sqrt{-2x};$

7) $\sqrt{x + 5} - \sqrt{8 - x} = 1;$

8) $\sqrt{2x - 4} - \sqrt{x - 1} = 1;$

9) $\sqrt{3x - 6} + \sqrt{x - 4} = 4;$

10) $2\sqrt{x - 3} - \sqrt{x + 2} = 1.$

1) $\sqrt{3x - 2} = \sqrt{4x + 3}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ 4x + 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge 2 \\ 4x \ge -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{2}{3} \\ x \ge -\frac{3}{4} \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x \ge \frac{2}{3}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
$(\sqrt{3x - 2})^2 = (\sqrt{4x + 3})^2$
$3x - 2 = 4x + 3$
$3x - 4x = 3 + 2$
$-x = 5$
$x = -5$
Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $-5 < \frac{2}{3}$, корень не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.
Ответ: нет корней.

2) $\sqrt{3x - 3} = \sqrt{4x^2 - 6x - 1}$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x - 3 \ge 0 \\ 4x^2 - 6x - 1 \ge 0 \end{cases}$
Из первого неравенства: $3x \ge 3 \implies x \ge 1$.
Для второго неравенства найдем корни квадратного трехчлена $4x^2 - 6x - 1 = 0$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 36 + 16 = 52$
$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{52}}{8} = \frac{6 \pm 2\sqrt{13}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{4}$.
Неравенство $4x^2 - 6x - 1 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, \frac{3-\sqrt{13}}{4}] \cup [\frac{3+\sqrt{13}}{4}, +\infty)$.
Учитывая, что $x \ge 1$ и $\frac{3+\sqrt{13}}{4} \approx \frac{3+3.6}{4} \approx 1.65 > 1$, ОДЗ: $x \ge \frac{3+\sqrt{13}}{4}$.
Возведем обе части в квадрат:
$3x - 3 = 4x^2 - 6x - 1$
$4x^2 - 9x + 2 = 0$
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 = 7^2$
$x_1 = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$x_2 = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2$
Проверим корни по ОДЗ: $x \ge \frac{3+\sqrt{13}}{4} \approx 1.65$.
$x_1 = 1/4$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > 1.65$).
Ответ: $2$.

3) $\sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x - 4} = 2$
Уравнение можно переписать как $\sqrt{(x-1)(x-4)} = 2$.
ОДЗ:
$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x - 4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge 4 \end{cases} \implies x \ge 4$.
Возведем обе части в квадрат:
$(x - 1)(x - 4) = 4$
$x^2 - 4x - x + 4 = 4$
$x^2 - 5x = 0$
$x(x - 5) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 5$
Проверим корни по ОДЗ: $x \ge 4$.
$x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $5$.

4) $\sqrt{x + 7} = x + 5$
ОДЗ:
$\begin{cases} x + 7 \ge 0 \\ x + 5 \ge 0 \end{cases}$ (правая часть уравнения не может быть отрицательной).
$\begin{cases} x \ge -7 \\ x \ge -5 \end{cases} \implies x \ge -5$.
Возведем обе части в квадрат:
$x + 7 = (x + 5)^2$
$x + 7 = x^2 + 10x + 25$
$x^2 + 9x + 18 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = -3$, $x_2 = -6$.
Проверим корни по ОДЗ: $x \ge -5$.
$x_1 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = -6$ не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-3$.

5) $\sqrt{x^2 + 2x - 12} = \sqrt{3x}$
ОДЗ:
$\begin{cases} 3x \ge 0 \\ x^2 + 2x - 12 \ge 0 \end{cases}$
Из первого неравенства $x \ge 0$.
Для второго найдем корни $x^2 + 2x - 12 = 0$:
$D = 2^2 - 4(1)(-12) = 4 + 48 = 52$
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{2} = -1 \pm \sqrt{13}$.
Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1-\sqrt{13}] \cup [-1+\sqrt{13}, +\infty)$.
Совмещая с $x \ge 0$, получаем ОДЗ: $x \ge -1+\sqrt{13}$.
Возводим в квадрат:
$x^2 + 2x - 12 = 3x$
$x^2 - x - 12 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.
Проверим корни по ОДЗ: $x \ge -1+\sqrt{13} \approx 2.6$.
$x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $4$.

6) $\sqrt{x^2 + x - 4} = \sqrt{-2x}$
ОДЗ:
$\begin{cases} -2x \ge 0 \\ x^2 + x - 4 \ge 0 \end{cases}$
Из первого неравенства $x \le 0$.
Для второго найдем корни $x^2 + x - 4 = 0$:
$D = 1^2 - 4(1)(-4) = 17$
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.
Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, \frac{-1-\sqrt{17}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{17}}{2}, +\infty)$.
Совмещая с $x \le 0$, получаем ОДЗ: $x \le \frac{-1-\sqrt{17}}{2}$.
Возводим в квадрат:
$x^2 + x - 4 = -2x$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = -4$, $x_2 = 1$.
Проверим корни по ОДЗ: $x \le \frac{-1-\sqrt{17}}{2} \approx -2.56$.
$x_1 = -4$ удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-4$.

7) $\sqrt{x + 5} - \sqrt{8 - x} = 1$
Перенесем один из корней в правую часть: $\sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{8 - x}$.
ОДЗ:
$\begin{cases} x + 5 \ge 0 \\ 8 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 8 \end{cases} \implies -5 \le x \le 8$.
Возведем в квадрат:
$x + 5 = (1 + \sqrt{8 - x})^2$
$x + 5 = 1 + 2\sqrt{8 - x} + (8 - x)$
$x + 5 = 9 - x + 2\sqrt{8 - x}$
$2x - 4 = 2\sqrt{8 - x}$
$x - 2 = \sqrt{8 - x}$
Так как корень не может быть отрицательным, $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$. С учетом ОДЗ, $2 \le x \le 8$.
Снова возведем в квадрат:
$(x - 2)^2 = 8 - x$
$x^2 - 4x + 4 = 8 - x$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.
Проверим корни по условию $2 \le x \le 8$.
$x_1 = 4$ удовлетворяет условию.
$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию.
Ответ: $4$.

8) $\sqrt{2x - 4} - \sqrt{x - 1} = 1$
Перенесем корень: $\sqrt{2x - 4} = 1 + \sqrt{x - 1}$.
ОДЗ:
$\begin{cases} 2x - 4 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies x \ge 2$.
Возведем в квадрат:
$2x - 4 = (1 + \sqrt{x - 1})^2$
$2x - 4 = 1 + 2\sqrt{x - 1} + (x - 1)$
$2x - 4 = x + 2\sqrt{x - 1}$
$x - 4 = 2\sqrt{x - 1}$
Требуется, чтобы $x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4$. С учетом ОДЗ, $x \ge 4$.
Снова возводим в квадрат:
$(x - 4)^2 = (2\sqrt{x - 1})^2$
$x^2 - 8x + 16 = 4(x - 1)$
$x^2 - 8x + 16 = 4x - 4$
$x^2 - 12x + 20 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 10$, $x_2 = 2$.
Проверим корни по условию $x \ge 4$.
$x_1 = 10$ удовлетворяет условию.
$x_2 = 2$ не удовлетворяет условию.
Ответ: $10$.

9) $\sqrt{3x - 6} + \sqrt{x - 4} = 4$
ОДЗ:
$\begin{cases} 3x - 6 \ge 0 \\ x - 4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge 4 \end{cases} \implies x \ge 4$.
Уединим один из корней: $\sqrt{3x - 6} = 4 - \sqrt{x - 4}$.
Так как $\sqrt{3x-6} \ge 0$, то $4 - \sqrt{x - 4} \ge 0 \implies 4 \ge \sqrt{x - 4}$.
Возведя в квадрат, получим $16 \ge x - 4 \implies x \le 20$.
Таким образом, искомые корни должны лежать в промежутке $4 \le x \le 20$.
Возведем в квадрат уравнение $\sqrt{3x - 6} = 4 - \sqrt{x - 4}$:
$3x - 6 = 16 - 8\sqrt{x - 4} + (x - 4)$
$3x - 6 = 12 + x - 8\sqrt{x - 4}$
$2x - 18 = -8\sqrt{x - 4}$
$9 - x = 4\sqrt{x - 4}$
Чтобы левая часть была неотрицательной, $9-x \ge 0 \implies x \le 9$.
С учетом предыдущих ограничений, $4 \le x \le 9$.
Возводим в квадрат еще раз:
$(9 - x)^2 = 16(x - 4)$
$81 - 18x + x^2 = 16x - 64$
$x^2 - 34x + 145 = 0$
$D = (-34)^2 - 4(1)(145) = 1156 - 580 = 576 = 24^2$
$x_1 = \frac{34 - 24}{2} = 5$
$x_2 = \frac{34 + 24}{2} = 29$
Проверяем корни по условию $4 \le x \le 9$.
$x_1 = 5$ удовлетворяет условию.
$x_2 = 29$ не удовлетворяет условию.
Ответ: $5$.

10) $2\sqrt{x - 3} - \sqrt{x + 2} = 1$
Перепишем: $2\sqrt{x - 3} = 1 + \sqrt{x + 2}$.
ОДЗ:
$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x \ge -2 \end{cases} \implies x \ge 3$.
Возведем в квадрат:
$4(x - 3) = (1 + \sqrt{x + 2})^2$
$4x - 12 = 1 + 2\sqrt{x + 2} + (x + 2)$
$4x - 12 = x + 3 + 2\sqrt{x + 2}$
$3x - 15 = 2\sqrt{x + 2}$
Левая часть должна быть неотрицательна: $3x - 15 \ge 0 \implies x \ge 5$. С учетом ОДЗ, $x \ge 5$.
Снова возводим в квадрат:
$(3x - 15)^2 = 4(x + 2)$
$9(x - 5)^2 = 4(x + 2)$
$9(x^2 - 10x + 25) = 4x + 8$
$9x^2 - 90x + 225 = 4x + 8$
$9x^2 - 94x + 217 = 0$
$D = (-94)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 217 = 8836 - 7812 = 1024 = 32^2$
$x_1 = \frac{94 - 32}{18} = \frac{62}{18} = \frac{31}{9}$
$x_2 = \frac{94 + 32}{18} = \frac{126}{18} = 7$
Проверяем корни по условию $x \ge 5$.
$x_1 = 31/9 \approx 3.44$ не удовлетворяет условию.
$x_2 = 7$ удовлетворяет условию.
Ответ: $7$.