Номер 261, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 261, страница 236.

261. Сократите дробь:

1) $ \frac{x - 8x^{\frac{3}{7}}}{x^{\frac{4}{7}} - 8}; $

2) $ \frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{5}{6}} + y^{\frac{2}{3}}}; $

3) $ \frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{a - b}; $

4) $ \frac{m^{1.5} - n^{1.5}}{m + m^{0.5}n^{0.5} + n}; $

5) $ \frac{a - 2a^{0.5}b^{0.5} + b}{ab^{0.5} - a^{0.5}b}; $

6) $ \frac{8a + 1}{4a^{\frac{2}{3}} - 1}; $

7) $ \frac{x^{\frac{5}{8}} + 6x^{\frac{1}{4}}}{x - 36x^{\frac{1}{4}}}; $

8) $ \frac{26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}}}{52^{\frac{1}{5}} + 4^{\frac{1}{5}}}. $

1) Чтобы сократить дробь, вынесем общий множитель за скобки в числителе. Так как $x = x^1 = x^{\frac{7}{7}}$, то общий множитель в числителе $x - 8x^{\frac{3}{7}}$ это $x^{\frac{3}{7}}$.
$x - 8x^{\frac{3}{7}} = x^{\frac{3}{7}}(x^{\frac{7}{7}-\frac{3}{7}} - 8) = x^{\frac{3}{7}}(x^{\frac{4}{7}} - 8)$.
Подставим преобразованный числитель в исходную дробь:
$\frac{x - 8x^{\frac{3}{7}}}{x^{\frac{4}{7}} - 8} = \frac{x^{\frac{3}{7}}(x^{\frac{4}{7}} - 8)}{x^{\frac{4}{7}} - 8}$.
Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(x^{\frac{4}{7}} - 8)$.
Получаем: $x^{\frac{3}{7}}$.
Ответ: $x^{\frac{3}{7}}$.

2) Для сокращения дроби вынесем общий множитель за скобки в знаменателе. Сравним степени: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$. Так как $\frac{4}{6} < \frac{5}{6}$, общим множителем будет $y^{\frac{2}{3}}$.
$y^{\frac{5}{6}} + y^{\frac{2}{3}} = y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{5}{6}-\frac{2}{3}} + 1) = y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{5}{6}-\frac{4}{6}} + 1) = y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{6}} + 1)$.
Подставим преобразованный знаменатель в дробь:
$\frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{5}{6}} + y^{\frac{2}{3}}} = \frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{6}} + 1)}$.
Сократим дробь на $y^{\frac{2}{3}}$.
Получаем: $\frac{5}{y^{\frac{1}{6}} + 1}$.
Ответ: $\frac{5}{y^{\frac{1}{6}} + 1}$.

3) Знаменатель $a - b$ можно представить как разность квадратов, используя свойство $x = (x^{0.5})^2$.
$a - b = (a^{0.5})^2 - (b^{0.5})^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a - b = (a^{0.5} - b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})$.
Подставим это выражение в знаменатель дроби:
$\frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{a - b} = \frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{(a^{0.5} - b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}$.
Сократим дробь на $(a^{0.5} + b^{0.5})$.
Получаем: $\frac{1}{a^{0.5} - b^{0.5}}$.
Ответ: $\frac{1}{a^{0.5} - b^{0.5}}$.

4) Числитель $m^{1.5} - n^{1.5}$ можно представить как разность кубов, так как $m^{1.5} = (m^{0.5})^3$ и $n^{1.5} = (n^{0.5})^3$.
Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$:
$m^{1.5} - n^{1.5} = (m^{0.5} - n^{0.5})((m^{0.5})^2 + m^{0.5}n^{0.5} + (n^{0.5})^2) = (m^{0.5} - n^{0.5})(m + m^{0.5}n^{0.5} + n)$.
Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{m^{1.5} - n^{1.5}}{m + m^{0.5}n^{0.5} + n} = \frac{(m^{0.5} - n^{0.5})(m + m^{0.5}n^{0.5} + n)}{m + m^{0.5}n^{0.5} + n}$.
Сократим дробь на $(m + m^{0.5}n^{0.5} + n)$.
Получаем: $m^{0.5} - n^{0.5}$.
Ответ: $m^{0.5} - n^{0.5}$.

5) Преобразуем числитель и знаменатель дроби.
Числитель $a - 2a^{0.5}b^{0.5} + b$ является полным квадратом разности. По формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$a - 2a^{0.5}b^{0.5} + b = (a^{0.5})^2 - 2a^{0.5}b^{0.5} + (b^{0.5})^2 = (a^{0.5} - b^{0.5})^2$.
В знаменателе $ab^{0.5} - a^{0.5}b$ вынесем общий множитель $a^{0.5}b^{0.5}$ за скобки:
$ab^{0.5} - a^{0.5}b = a^{0.5}a^{0.5}b^{0.5} - a^{0.5}b^{0.5}b^{0.5} = a^{0.5}b^{0.5}(a^{0.5} - b^{0.5})$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{(a^{0.5} - b^{0.5})^2}{a^{0.5}b^{0.5}(a^{0.5} - b^{0.5})}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a^{0.5} - b^{0.5})$.
Получаем: $\frac{a^{0.5} - b^{0.5}}{a^{0.5}b^{0.5}}$.
Ответ: $\frac{a^{0.5} - b^{0.5}}{a^{0.5}b^{0.5}}$.

6) Представим числитель как сумму кубов, а знаменатель как разность квадратов.
Числитель: $8a + 1 = (2a^{\frac{1}{3}})^3 + 1^3$. По формуле суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$(2a^{\frac{1}{3}})^3 + 1^3 = (2a^{\frac{1}{3}} + 1)(4a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}} + 1)$.
Знаменатель: $4a^{\frac{2}{3}} - 1 = (2a^{\frac{1}{3}})^2 - 1^2$. По формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$(2a^{\frac{1}{3}})^2 - 1^2 = (2a^{\frac{1}{3}} - 1)(2a^{\frac{1}{3}} + 1)$.
Подставим выражения в дробь:
$\frac{(2a^{\frac{1}{3}} + 1)(4a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}} + 1)}{(2a^{\frac{1}{3}} - 1)(2a^{\frac{1}{3}} + 1)}$.
Сократим на общий множитель $(2a^{\frac{1}{3}} + 1)$.
Получаем: $\frac{4a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}} + 1}{2a^{\frac{1}{3}} - 1}$.
Ответ: $\frac{4a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}} + 1}{2a^{\frac{1}{3}} - 1}$.

7) Сначала вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
В числителе $x^{\frac{5}{8}} + 6x^{\frac{1}{4}}$ вынесем за скобки $x^{\frac{1}{4}}$:
$x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{5}{8} - \frac{1}{4}} + 6) = x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{3}{8}} + 6)$.
В знаменателе $x - 36x^{\frac{1}{4}}$ вынесем за скобки $x^{\frac{1}{4}}$:
$x^{\frac{1}{4}}(x^{1 - \frac{1}{4}} - 36) = x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{3}{4}} - 36)$.
Дробь примет вид: $\frac{x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{3}{8}} + 6)}{x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{3}{4}} - 36)} = \frac{x^{\frac{3}{8}} + 6}{x^{\frac{3}{4}} - 36}$.
Теперь разложим знаменатель $x^{\frac{3}{4}} - 36$ по формуле разности квадратов, заметив, что $x^{\frac{3}{4}} = (x^{\frac{3}{8}})^2$ и $36=6^2$:
$x^{\frac{3}{4}} - 36 = (x^{\frac{3}{8}} - 6)(x^{\frac{3}{8}} + 6)$.
Подставим в дробь: $\frac{x^{\frac{3}{8}} + 6}{(x^{\frac{3}{8}} - 6)(x^{\frac{3}{8}} + 6)}$.
Сократим на $(x^{\frac{3}{8}} + 6)$.
Получаем: $\frac{1}{x^{\frac{3}{8}} - 6}$.
Ответ: $\frac{1}{x^{\frac{3}{8}} - 6}$.

8) Разложим числа на множители и вынесем общие множители за скобки.
Числитель: $26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}} = (13 \cdot 2)^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}} = 13^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{1}{5}}(13^{\frac{1}{5}} + 1)$.
Знаменатель: $52^{\frac{1}{5}} + 4^{\frac{1}{5}} = (13 \cdot 4)^{\frac{1}{5}} + 4^{\frac{1}{5}} = 13^{\frac{1}{5}} \cdot 4^{\frac{1}{5}} + 4^{\frac{1}{5}} = 4^{\frac{1}{5}}(13^{\frac{1}{5}} + 1)$.
Подставим в дробь:
$\frac{2^{\frac{1}{5}}(13^{\frac{1}{5}} + 1)}{4^{\frac{1}{5}}(13^{\frac{1}{5}} + 1)}$.
Сократим на $(13^{\frac{1}{5}} + 1)$:
$\frac{2^{\frac{1}{5}}}{4^{\frac{1}{5}}} = \frac{2^{\frac{1}{5}}}{(2^2)^{\frac{1}{5}}} = \frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} = 2^{\frac{1}{5} - \frac{2}{5}} = 2^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{5}}}$.
Ответ: $\frac{1}{2^{\frac{1}{5}}}$.