Номер 259, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 259, страница 236.

259. Известно, что $\sqrt{24 - a} - \sqrt{10 - a} = 2$. Найдите значение выражения $\sqrt{24 - a} + \sqrt{10 - a}$.

Для решения данной задачи введем переменные, чтобы упростить выражения. Пусть $u = \sqrt{24-a}$ и $v = \sqrt{10-a}$. Заметим, что поскольку корень квадратный является арифметическим, то $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Согласно условию задачи, нам дано равенство:
$u - v = 2$.

Нам необходимо найти значение выражения $\sqrt{24-a} + \sqrt{10-a}$, которое в наших обозначениях представляет собой сумму $u+v$.

Чтобы найти связь между данными выражениями, рассмотрим разность их квадратов:
$u^2 - v^2 = (\sqrt{24-a})^2 - (\sqrt{10-a})^2$
$u^2 - v^2 = (24-a) - (10-a) = 24 - a - 10 + a = 14$.

С другой стороны, воспользуемся формулой разности квадратов: $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v)$.

Теперь мы можем объединить полученные результаты. Подставим известные значения в формулу разности квадратов:
$14 = (u-v)(u+v)$
Так как из условия нам известно, что $u-v=2$, получаем:
$14 = 2 \cdot (u+v)$

Из этого уравнения легко выразить искомую сумму $u+v$:
$u+v = \frac{14}{2} = 7$.

Следовательно, значение выражения $\sqrt{24-a} + \sqrt{10-a}$ равно 7.

Ответ: 7