Номер 265, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Иррациональные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 265, страница 237.

265. Решите уравнение $ \sqrt[4]{x-4} + 2\sqrt{4-x} = x^2-5x+4 $

Для решения уравнения $ \sqrt[4]{x-4} + 2\sqrt{4-x} = x^2 - 5x + 4 $ найдем сначала его область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ определяется из условий, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными, так как корень четной степени извлекается только из неотрицательного числа. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases} $

Решая эту систему, получаем:

$ \begin{cases} x \ge 4 \\ x \le 4 \end{cases} $

Единственным значением $x$, которое одновременно не меньше четырех и не больше четырех, является $x = 4$. Таким образом, область допустимых значений уравнения состоит из единственного числа.

Это означает, что если уравнение имеет решение, то этим решением может быть только $x = 4$. Для проверки подставим это значение в исходное уравнение.

Проверка для $x = 4$:

Левая часть уравнения:

$ \sqrt[4]{4 - 4} + 2\sqrt{4 - 4} = \sqrt[4]{0} + 2\sqrt{0} = 0 + 2 \cdot 0 = 0 $

Правая часть уравнения:

$ (4)^2 - 5(4) + 4 = 16 - 20 + 4 = -4 + 4 = 0 $

Поскольку левая часть равна правой ($0 = 0$), значение $x = 4$ является корнем уравнения. Так как это единственное значение из ОДЗ, других корней у уравнения нет.

Ответ: $4$.