Номер 271, страница 238 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Функции и их свойства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 271, страница 238.
№271 (с. 238)
Учебник. №271 (с. 238)
скриншот условия

271. У какой из данных функций область определения равна её области значений:
1) $y = \sqrt{|x|}$;
2) $y = -\sqrt{x}$;
3) $y = \sqrt{-x}$;
4) $y = -\sqrt{-x}$?
Решение 2. №271 (с. 238)
Для того чтобы определить, у какой из данных функций область определения равна её области значений, необходимо для каждой из них найти область определения $D(y)$ и область значений $E(y)$ и сравнить их.
1) Для функции $y = \sqrt{|x|}$:
Область определения ($D(y)$): Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Условие $|x| \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения — это множество всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Арифметический квадратный корень по определению принимает только неотрицательные значения, поэтому $y \ge 0$. Функция может принять любое неотрицательное значение (например, чтобы получить $y=c \ge 0$, можно взять $x = c^2$). Следовательно, область значений — это множество всех неотрицательных чисел: $E(y) = [0; +\infty)$.
Сравнивая $D(y)$ и $E(y)$, видим, что $D(y) \ne E(y)$.
Ответ: для функции $y = \sqrt{|x|}$ область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ не равна области значений $E(y) = [0; +\infty)$.
2) Для функции $y = -\sqrt{x}$:
Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $x$ должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Таким образом, $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $y = -\sqrt{x} \le 0$. Функция может принять любое неположительное значение (например, чтобы получить $y=c \le 0$, можно взять $x = c^2$). Таким образом, область значений — это множество всех неположительных чисел: $E(y) = (-\infty; 0]$.
Сравнивая $D(y)$ и $E(y)$, видим, что $D(y) \ne E(y)$.
Ответ: для функции $y = -\sqrt{x}$ область определения $D(y) = [0; +\infty)$ не равна области значений $E(y) = (-\infty; 0]$.
3) Для функции $y = \sqrt{-x}$:
Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $-x$ должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$, что равносильно $x \le 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0]$.
Область значений ($E(y)$): Арифметический квадратный корень принимает неотрицательные значения, поэтому $y \ge 0$. Функция может принять любое неотрицательное значение (например, чтобы получить $y=c \ge 0$, можно взять $x = -c^2$). Таким образом, область значений — это множество всех неотрицательных чисел: $E(y) = [0; +\infty)$.
Сравнивая $D(y)$ и $E(y)$, видим, что $D(y) \ne E(y)$.
Ответ: для функции $y = \sqrt{-x}$ область определения $D(y) = (-\infty; 0]$ не равна области значений $E(y) = [0; +\infty)$.
4) Для функции $y = -\sqrt{-x}$:
Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $-x$ должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$, что равносильно $x \le 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0]$.
Область значений ($E(y)$): Поскольку $\sqrt{-x} \ge 0$, то $y = -\sqrt{-x} \le 0$. Функция может принять любое неположительное значение (например, чтобы получить $y=c \le 0$, можно взять $x = -c^2$). Таким образом, область значений — это множество всех неположительных чисел: $E(y) = (-\infty; 0]$.
Сравнивая $D(y)$ и $E(y)$, видим, что они совпадают, так как оба множества равны $(-\infty; 0]$.
Ответ: для функции $y = -\sqrt{-x}$ область определения $D(y) = (-\infty; 0]$ равна области значений $E(y) = (-\infty; 0]$.
Таким образом, единственная функция из предложенных, у которой область определения совпадает с областью значений, это функция под номером 4: $y = -\sqrt{-x}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 271 расположенного на странице 238 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №271 (с. 238), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.