Номер 271, страница 238 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Функции и их свойства - номер 271, страница 238.

Учебник.

271. У какой из данных функций область определения равна её области значений:

1) $y = \sqrt{|x|}$;

2) $y = -\sqrt{x}$;

3) $y = \sqrt{-x}$;

4) $y = -\sqrt{-x}$?

Решение 2.

Для того чтобы определить, у какой из данных функций область определения равна её области значений, необходимо для каждой из них найти область определения $D(y)$ и область значений $E(y)$ и сравнить их.

1) Для функции $y = \sqrt{|x|}$:

Область определения ($D(y)$): Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Условие $|x| \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения — это множество всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений ($E(y)$): Арифметический квадратный корень по определению принимает только неотрицательные значения, поэтому $y \ge 0$. Функция может принять любое неотрицательное значение (например, чтобы получить $y=c \ge 0$, можно взять $x = c^2$). Следовательно, область значений — это множество всех неотрицательных чисел: $E(y) = [0; +\infty)$.

Сравнивая $D(y)$ и $E(y)$, видим, что $D(y) \ne E(y)$.

Ответ: для функции $y = \sqrt{|x|}$ область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ не равна области значений $E(y) = [0; +\infty)$.

2) Для функции $y = -\sqrt{x}$:

Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $x$ должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Таким образом, $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений ($E(y)$): Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $y = -\sqrt{x} \le 0$. Функция может принять любое неположительное значение (например, чтобы получить $y=c \le 0$, можно взять $x = c^2$). Таким образом, область значений — это множество всех неположительных чисел: $E(y) = (-\infty; 0]$.

Сравнивая $D(y)$ и $E(y)$, видим, что $D(y) \ne E(y)$.

Ответ: для функции $y = -\sqrt{x}$ область определения $D(y) = [0; +\infty)$ не равна области значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

3) Для функции $y = \sqrt{-x}$:

Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $-x$ должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$, что равносильно $x \le 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0]$.

Область значений ($E(y)$): Арифметический квадратный корень принимает неотрицательные значения, поэтому $y \ge 0$. Функция может принять любое неотрицательное значение (например, чтобы получить $y=c \ge 0$, можно взять $x = -c^2$). Таким образом, область значений — это множество всех неотрицательных чисел: $E(y) = [0; +\infty)$.

Сравнивая $D(y)$ и $E(y)$, видим, что $D(y) \ne E(y)$.

Ответ: для функции $y = \sqrt{-x}$ область определения $D(y) = (-\infty; 0]$ не равна области значений $E(y) = [0; +\infty)$.

4) Для функции $y = -\sqrt{-x}$:

Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $-x$ должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$, что равносильно $x \le 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0]$.

Область значений ($E(y)$): Поскольку $\sqrt{-x} \ge 0$, то $y = -\sqrt{-x} \le 0$. Функция может принять любое неположительное значение (например, чтобы получить $y=c \le 0$, можно взять $x = -c^2$). Таким образом, область значений — это множество всех неположительных чисел: $E(y) = (-\infty; 0]$.

Сравнивая $D(y)$ и $E(y)$, видим, что они совпадают, так как оба множества равны $(-\infty; 0]$.

Ответ: для функции $y = -\sqrt{-x}$ область определения $D(y) = (-\infty; 0]$ равна области значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

Таким образом, единственная функция из предложенных, у которой область определения совпадает с областью значений, это функция под номером 4: $y = -\sqrt{-x}$.