Номер 260, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Степени и корни - номер 260, страница 236.

Учебник.

260. Найдите значение выражения:

1) $5^{3,6} \cdot 5^{-1,2} \cdot 5^{1,6}$;

2) $(3^{-0,8})^7 : 3^{-2,6}$;

3) $(7^{-\frac{4}{11}})^{20} \cdot 49^{1,1}$;

4) $81^{-2,25} \cdot 9^{3,5} \cdot 27^{\frac{2}{3}}$;

5) $\left(\frac{7^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{35^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}}}\right)^{-1,5}$;

6) $\left(\frac{25^{\frac{4}{3}} \cdot 216^{\frac{1}{9}}}{5^{-\frac{1}{3}} \cdot 36^{\frac{2}{3}}}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{150^{-\frac{5}{4}}}{64^{-\frac{1}{4}} \cdot 5^2}\right)^{-\frac{2}{3}}$.

Решение 2.

1) $5^{3,6} \cdot 5^{-1,2} \cdot 5^{1,6}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$5^{3,6} \cdot 5^{-1,2} \cdot 5^{1,6} = 5^{3,6 + (-1,2) + 1,6} = 5^{2,4 + 1,6} = 5^4 = 625$.

Ответ: 625.

2) $(3^{-0,8})^7 : 3^{-2,6}$

Используем свойства степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, а при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$(3^{-0,8})^7 : 3^{-2,6} = 3^{-0,8 \cdot 7} : 3^{-2,6} = 3^{-5,6} : 3^{-2,6} = 3^{-5,6 - (-2,6)} = 3^{-5,6 + 2,6} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$.

3) $(7^{-\frac{4}{11}})^{\frac{11}{20}} \cdot 49^{1,1}$

Представим $49$ как степень $7$, то есть $49 = 7^2$. Затем воспользуемся свойствами степеней.

$(7^{-\frac{4}{11}})^{\frac{11}{20}} \cdot (7^2)^{1,1} = 7^{-\frac{4}{11} \cdot \frac{11}{20}} \cdot 7^{2 \cdot 1,1} = 7^{-\frac{4}{20}} \cdot 7^{2,2} = 7^{-\frac{1}{5}} \cdot 7^{2,2}$.

Переведем показатель $-\frac{1}{5}$ в десятичную дробь: $-\frac{1}{5} = -0,2$.

$7^{-0,2} \cdot 7^{2,2} = 7^{-0,2 + 2,2} = 7^2 = 49$.

Ответ: 49.

4) $81^{-2,25} \cdot 9^{3,5} \cdot 27^{\frac{2}{3}}$

Приведем все основания к степени числа 3: $81 = 3^4$, $9 = 3^2$, $27 = 3^3$.

$(3^4)^{-2,25} \cdot (3^2)^{3,5} \cdot (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{4 \cdot (-2,25)} \cdot 3^{2 \cdot 3,5} \cdot 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^{-9} \cdot 3^7 \cdot 3^2$.

Сложим показатели степеней: $3^{-9+7+2} = 3^0 = 1$.

Ответ: 1.

5) $(\frac{7^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}}}{35^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}})^{-1,5}$

Упростим выражение в скобках. Для этого представим $35$ в виде произведения $7 \cdot 5$.

$\frac{7^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}}}{35^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}} = \frac{7^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}}}{(7 \cdot 5)^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}} = \frac{7^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}} = \frac{5^{-\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}} = 5^{-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{3^{-\frac{4}{3}}} = 5^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}}$.

Теперь возведем полученное выражение в степень $-1,5 = -\frac{3}{2}$.

$(5^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}})^{-\frac{3}{2}} = (5^{-\frac{2}{3}})^{-\frac{3}{2}} \cdot (3^{\frac{4}{3}})^{-\frac{3}{2}} = 5^{(-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{3}{2})} \cdot 3^{(\frac{4}{3}) \cdot (-\frac{3}{2})} = 5^1 \cdot 3^{-2} = 5 \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$.

6) $(\frac{25^{\frac{4}{3}} \cdot 216^{\frac{1}{9}}}{5^{-\frac{1}{3}} \cdot 36^{\frac{2}{3}}})^{-1} \cdot (\frac{150^{-\frac{5}{4}}}{64^{-\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}})^{-\frac{2}{3}}$

Решим задачу по частям. Сначала упростим первый множитель.

$(\frac{25^{\frac{4}{3}} \cdot 216^{\frac{1}{9}}}{5^{-\frac{1}{3}} \cdot 36^{\frac{2}{3}}})^{-1} = (\frac{(5^2)^{\frac{4}{3}} \cdot (6^3)^{\frac{1}{9}}}{5^{-\frac{1}{3}} \cdot (6^2)^{\frac{2}{3}}})^{-1} = (\frac{5^{\frac{8}{3}} \cdot 6^{\frac{3}{9}}}{5^{-\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{4}{3}}})^{-1} = (\frac{5^{\frac{8}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{4}{3}}})^{-1} = (5^{\frac{8}{3} - (-\frac{1}{3})} \cdot 6^{\frac{1}{3} - \frac{4}{3}})^{-1} = (5^{\frac{9}{3}} \cdot 6^{-\frac{3}{3}})^{-1} = (5^3 \cdot 6^{-1})^{-1} = 5^{-3} \cdot 6^1 = \frac{6}{125}$.

Теперь упростим второй множитель, представив основания степеней в виде произведений простых чисел: $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$ и $64 = 2^6$.

$(\frac{150^{-\frac{5}{4}}}{64^{-\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{(2 \cdot 3 \cdot 5^2)^{-\frac{5}{4}}}{(2^6)^{-\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{2^{-\frac{5}{4}} \cdot 3^{-\frac{5}{4}} \cdot 5^{-2 \cdot \frac{5}{4}}}{2^{-6 \cdot \frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{2^{-\frac{5}{4}} \cdot 3^{-\frac{5}{4}} \cdot 5^{-\frac{5}{2}}}{2^{-\frac{3}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}})^{-\frac{2}{3}}$

$= (2^{-\frac{5}{4} - (-\frac{3}{2})} \cdot 3^{-\frac{5}{4}} \cdot 5^{-\frac{5}{2} - \frac{1}{2}})^{-\frac{2}{3}} = (2^{-\frac{5}{4} + \frac{6}{4}} \cdot 3^{-\frac{5}{4}} \cdot 5^{-3})^{-\frac{2}{3}} = (2^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{-\frac{5}{4}} \cdot 5^{-3})^{-\frac{2}{3}}$

$= 2^{\frac{1}{4} \cdot (-\frac{2}{3})} \cdot 3^{-\frac{5}{4} \cdot (-\frac{2}{3})} \cdot 5^{-3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 2^{-\frac{1}{6}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} \cdot 5^2$.

Наконец, перемножим результаты упрощения обоих множителей.

$\frac{6}{125} \cdot (2^{-\frac{1}{6}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} \cdot 5^2) = (2 \cdot 3 \cdot 5^{-3}) \cdot (2^{-\frac{1}{6}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} \cdot 5^2) = 2^{1-\frac{1}{6}} \cdot 3^{1+\frac{5}{6}} \cdot 5^{-3+2}$

$= 2^{\frac{5}{6}} \cdot 3^{\frac{11}{6}} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{5} \cdot 2^{\frac{5}{6}} \cdot 3^{1+\frac{5}{6}} = \frac{1}{5} \cdot 2^{\frac{5}{6}} \cdot 3^1 \cdot 3^{\frac{5}{6}} = \frac{3}{5} \cdot (2^{\frac{5}{6}} \cdot 3^{\frac{5}{6}}) = \frac{3}{5} \cdot (2 \cdot 3)^{\frac{5}{6}} = \frac{3}{5} \cdot 6^{\frac{5}{6}}$.

Ответ: $\frac{3}{5} \cdot 6^{\frac{5}{6}}$.