Номер 258, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 258, страница 236.

258. Известно, что $\sqrt{6 + a} + \sqrt{7 - a} = 5.$ Найдите значение выражения $\sqrt{(6 + a)(7 - a)}.$

Для решения этой задачи возведем в квадрат обе части исходного равенства. Это позволит нам связать данное выражение с тем, которое нужно найти.

Исходное равенство:

$\sqrt{6+a} + \sqrt{7-a} = 5$

Возводим обе части в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(\sqrt{6+a} + \sqrt{7-a})^2 = 5^2$

$(\sqrt{6+a})^2 + 2 \cdot \sqrt{6+a} \cdot \sqrt{7-a} + (\sqrt{7-a})^2 = 25$

Упрощаем полученное выражение:

$(6+a) + 2\sqrt{(6+a)(7-a)} + (7-a) = 25$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Обратите внимание, что переменные $a$ и $-a$ взаимно уничтожаются:

$(6+7) + (a-a) + 2\sqrt{(6+a)(7-a)} = 25$

$13 + 2\sqrt{(6+a)(7-a)} = 25$

Теперь мы можем выразить искомое выражение. Перенесем 13 в правую часть уравнения:

$2\sqrt{(6+a)(7-a)} = 25 - 13$

$2\sqrt{(6+a)(7-a)} = 12$

Разделим обе части на 2, чтобы найти значение выражения $\sqrt{(6+a)(7-a)}$:

$\sqrt{(6+a)(7-a)} = \frac{12}{2}$

$\sqrt{(6+a)(7-a)} = 6$

Ответ: 6