Номер 280, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Функции и их свойства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 280, страница 239.

280. Докажите, не используя производной, что функция:

1) $f(x) = \frac{6}{2-x}$ возрастает на промежутке $(-\infty; 2);

2) $f(x) = x^2 + 4x$ убывает на промежутке $(-\infty; -2].

1) Чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{6}{2-x}$ возрастает на промежутке $(-\infty; 2)$, воспользуемся определением возрастающей функции. Функция является возрастающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Выберем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 2)$ так, чтобы выполнялось условие $x_1 < x_2$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках: $f(x_2) - f(x_1) = \frac{6}{2-x_2} - \frac{6}{2-x_1}$.

Приведем выражение к общему знаменателю и упростим: $f(x_2) - f(x_1) = 6 \left( \frac{1}{2-x_2} - \frac{1}{2-x_1} \right) = 6 \left( \frac{(2-x_1) - (2-x_2)}{(2-x_2)(2-x_1)} \right) = 6 \frac{2 - x_1 - 2 + x_2}{(2-x_2)(2-x_1)} = \frac{6(x_2 - x_1)}{(2-x_2)(2-x_1)}$.

Оценим знак числителя и знаменателя полученной дроби:

Числитель $6(x_2 - x_1)$ положителен, так как по нашему выбору $x_1 < x_2$, что означает $x_2 - x_1 > 0$.

Знаменатель $(2-x_2)(2-x_1)$ также положителен. Поскольку $x_1$ и $x_2$ принадлежат промежутку $(-\infty; 2)$, то $x_1 < 2$ и $x_2 < 2$. Следовательно, $2-x_1 > 0$ и $2-x_2 > 0$. Произведение двух положительных чисел есть число положительное.

Так как и числитель, и знаменатель дроби положительны, то вся дробь больше нуля. Таким образом, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, откуда следует, что $f(x_2) > f(x_1)$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2 \in (-\infty; 2)$ из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$. Это по определению означает, что функция $f(x)$ возрастает на данном промежутке.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что функция $f(x) = x^2 + 4x$ убывает на промежутке $(-\infty; -2]$, воспользуемся определением убывающей функции. Функция является убывающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Выберем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; -2]$ так, чтобы выполнялось условие $x_1 < x_2$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках: $f(x_2) - f(x_1) = (x_2^2 + 4x_2) - (x_1^2 + 4x_1) = x_2^2 - x_1^2 + 4x_2 - 4x_1$.

Сгруппируем слагаемые и разложим на множители: $f(x_2) - f(x_1) = (x_2^2 - x_1^2) + (4x_2 - 4x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) + 4(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1 + 4)$.

Оценим знак каждого множителя в полученном произведении:

Первый множитель $(x_2 - x_1)$ положителен, так как по нашему выбору $x_1 < x_2$.

Второй множитель $(x_2 + x_1 + 4)$. Так как $x_1$ и $x_2$ принадлежат промежутку $(-\infty; -2]$, то $x_1 < x_2 \le -2$. Из этого следует, что $x_1 < -2$ и $x_2 \le -2$. Сложив эти два неравенства, получим $x_1 + x_2 < -2 + (-2) = -4$. Если $x_1 + x_2 < -4$, то $x_1 + x_2 + 4 < 0$. Значит, второй множитель отрицателен.

Произведение положительного и отрицательного числа является отрицательным числом. Следовательно, $(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 + 4) < 0$.

Таким образом, $f(x_2) - f(x_1) < 0$, откуда следует, что $f(x_2) < f(x_1)$, или $f(x_1) > f(x_2)$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2 \in (-\infty; -2]$ из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) > f(x_2)$. Это по определению означает, что функция $f(x)$ убывает на данном промежутке.

Ответ: Доказано.