Номер 232, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Степени и корни - номер 232, страница 232.

Учебник.

232. Расположите в порядке возрастания:

1) $11^{-2}$, $11^{2}$, $11^{-1}$, $11^{0}$;

2) $\left(\frac{1}{7}\right)^{2}$, $\left(\frac{1}{7}\right)^{-3}$, $\left(\frac{1}{7}\right)^{0}$, $\left(\frac{1}{7}\right)^{-1}$.

Решение 2.

1)

Для того чтобы расположить числа $11^{-2}$, $11^2$, $11^{-1}$, $11^0$ в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения. Все числа представляют собой степени с одинаковым основанием $11$.

Поскольку основание степени $11 > 1$, степенная функция с таким основанием является возрастающей. Это означает, что чем больше показатель степени, тем больше значение самой степени. Сравним показатели степеней: $-2$, $2$, $-1$, $0$.

Расположим показатели в порядке возрастания: $-2 < -1 < 0 < 2$.

Соответственно, сами степени в порядке возрастания будут расположены в том же порядке:

$11^{-2}$, $11^{-1}$, $11^0$, $11^2$.

Для проверки можно вычислить конкретные значения:
$11^{-2} = \frac{1}{11^2} = \frac{1}{121}$
$11^{-1} = \frac{1}{11}$
$11^0 = 1$
$11^2 = 121$

Располагая полученные значения $\frac{1}{121}$, $\frac{1}{11}$, $1$, $121$ в порядке возрастания, мы получаем тот же самый ряд.

Ответ: $11^{-2}$, $11^{-1}$, $11^0$, $11^2$.

2)

Рассмотрим числа $(\frac{1}{7})^2$, $(\frac{1}{7})^{-3}$, $(\frac{1}{7})^0$, $(\frac{1}{7})^{-1}$. Все они являются степенями с одинаковым основанием $\frac{1}{7}$.

Поскольку основание степени $0 < \frac{1}{7} < 1$, степенная функция с таким основанием является убывающей. Это означает, что чем больше показатель степени, тем меньше значение самой степени. Следовательно, чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо расположить их показатели ($2$, $-3$, $0$, $-1$) в порядке убывания.

Расположим показатели в порядке убывания: $2 > 0 > -1 > -3$.

Соответственно, сами степени в порядке возрастания будут расположены в следующем порядке:

$(\frac{1}{7})^2$, $(\frac{1}{7})^0$, $(\frac{1}{7})^{-1}$, $(\frac{1}{7})^{-3}$.

Для проверки можно вычислить конкретные значения, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$(\frac{1}{7})^2 = \frac{1}{49}$
$(\frac{1}{7})^{-3} = 7^3 = 343$
$(\frac{1}{7})^0 = 1$
$(\frac{1}{7})^{-1} = 7^1 = 7$

Располагая полученные значения $\frac{1}{49}$, $343$, $1$, $7$ в порядке возрастания, получаем ряд $\frac{1}{49}$, $1$, $7$, $343$, что соответствует найденному выше порядку степеней.

Ответ: $(\frac{1}{7})^2$, $(\frac{1}{7})^0$, $(\frac{1}{7})^{-1}$, $(\frac{1}{7})^{-3}$.