Номер 195, страница 229 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 195, страница 229.

195. Сколько решений в зависимости от значения a имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ |x| = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = a + |x|; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ xy = 8? \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ |x| = 2; \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $x=2$ или $x=-2$. В обоих случаях $x^2 = (\pm 2)^2 = 4$.

Подставим значение $x^2=4$ в первое уравнение системы:

$4 + y^2 = a$

$y^2 = a - 4$

Количество решений системы зависит от количества действительных корней уравнения для $y$, которое, в свою очередь, определяется знаком выражения $a - 4$.

• Если $a - 4 < 0$, то есть $a < 4$, уравнение $y^2 = a - 4$ не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, у системы нет решений.

• Если $a - 4 = 0$, то есть $a = 4$, уравнение $y^2 = 0$ имеет один корень $y = 0$. Так как у нас есть два возможных значения для $x$ ($2$ и $-2$), система имеет два решения: $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

• Если $a - 4 > 0$, то есть $a > 4$, уравнение $y^2 = a - 4$ имеет два действительных корня: $y = \sqrt{a - 4}$ и $y = -\sqrt{a - 4}$. Для каждого из двух значений $x$ ($2$ и $-2$) существует два значения $y$. Таким образом, система имеет четыре решения: $(2, \sqrt{a-4})$, $(2, -\sqrt{a-4})$, $(-2, \sqrt{a-4})$, $(-2, -\sqrt{a-4})$.

Ответ: при $a < 4$ решений нет; при $a = 4$ – 2 решения; при $a > 4$ – 4 решения.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = a + |x|; \end{cases} $

Геометрически первое уравнение $x^2 + y^2 = 9$ задает окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=3$. Второе уравнение $y = a + |x|$ задает график, полученный сдвигом графика $y=|x|$ на $a$ единиц по вертикали. Это "угол" с вершиной в точке $(0, a)$.

Для аналитического решения подставим второе уравнение в первое. Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$, учитывая, что $x^2 = |x|^2=t^2$:

$t^2 + (a + t)^2 = 9$

$t^2 + a^2 + 2at + t^2 - 9 = 0$

$2t^2 + 2at + (a^2 - 9) = 0$

Найдём количество неотрицательных корней этого квадратного уравнения. Дискриминант: $D = (2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 9) = 4a^2 - 8a^2 + 72 = 72 - 4a^2 = 4(18 - a^2)$.

Проанализируем количество решений в зависимости от значения $a$:

• Если $D < 0$, то есть $a^2 > 18 \implies |a| > 3\sqrt{2}$. Действительных корней для $t$ нет, значит и у системы решений нет. Таким образом, при $a > 3\sqrt{2}$ или $a < -3\sqrt{2}$ решений нет.

• Если $D = 0$, то есть $a = \pm 3\sqrt{2}$. Уравнение имеет один корень $t = -a/2$. Если $a = 3\sqrt{2}$, то $t = -3\sqrt{2}/2 < 0$. Не подходит. Решений нет. Если $a = -3\sqrt{2}$, то $t = 3\sqrt{2}/2 > 0$. Один положительный корень для $t$ дает два решения для $x$ ($x = \pm t$). Система имеет 2 решения.

• Если $D > 0$, то есть $|a| < 3\sqrt{2}$. Уравнение имеет два действительных корня. Их знаки можно определить по теореме Виета: $t_1+t_2 = -a$, $t_1 t_2 = (a^2-9)/2$.

  • При $3 < a < 3\sqrt{2}$: $t_1+t_2 < 0$ и $t_1 t_2 > 0$, оба корня отрицательные. Решений нет.
  • При $a=3$: корни $t=0, t=-3$. Подходит $t=0$, что дает $x=0$. 1 решение.
  • При $-3 < a < 3$: $t_1 t_2 < 0$, один корень положительный, другой отрицательный. Один подходящий корень $t > 0$ дает 2 решения.
  • При $a=-3$: корни $t=0, t=3$. Оба подходят. $t=0$ дает 1 решение, $t=3$ дает 2 решения. Всего 3 решения.
  • При $-3\sqrt{2} < a < -3$: $t_1+t_2 > 0$ и $t_1 t_2 > 0$, оба корня положительные. Каждый из двух корней $t$ дает по 2 решения. Всего 4 решения.

Суммируя все случаи, получаем:

Ответ: при $a < -3\sqrt{2}$ или $a > 3$ решений нет; при $a = 3$ – 1 решение; при $a = -3\sqrt{2}$ или $-3 < a < 3$ – 2 решения; при $a = -3$ – 3 решения; при $-3\sqrt{2} < a < -3$ – 4 решения.

3)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ xy = 8; \end{cases} $

Из второго уравнения, $y = 8/x$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (8/x)^2 = a^2$

$x^2 + 64/x^2 = a^2$

Умножим обе части на $x^2$ (так как $x \ne 0$):

$x^4 + 64 = a^2 x^2$

$x^4 - a^2 x^2 + 64 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t > 0$.

$t^2 - a^2 t + 64 = 0$

Количество решений исходной системы зависит от количества положительных корней этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-a^2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = a^4 - 256$.

• Если $D < 0$, то есть $a^4 - 256 < 0 \implies a^4 < 256 \implies |a| < 4$. Уравнение для $t$ не имеет действительных корней. Следовательно, система не имеет решений.

• Если $D = 0$, то есть $a^4 - 256 = 0 \implies |a| = 4$. Уравнение имеет один корень $t = a^2/2 = 16/2 = 8$. Так как $t > 0$, это дает $x^2 = 8$, откуда $x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$. Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$. Система имеет 2 решения.

• Если $D > 0$, то есть $a^4 - 256 > 0 \implies |a| > 4$. Уравнение для $t$ имеет два различных действительных корня. По теореме Виета, их сумма $t_1+t_2 = a^2 > 0$ и произведение $t_1 t_2 = 64 > 0$. Следовательно, оба корня положительны. Каждый из двух положительных корней для $t$ дает по два значения $x$. Таким образом, система имеет $2 \times 2 = 4$ решения.

Ответ: при $|a| < 4$ (то есть $-4 < a < 4$) решений нет; при $|a| = 4$ (то есть $a = \pm 4$) – 2 решения; при $|a| > 4$ (то есть $a > 4$ или $a < -4$) – 4 решения.