Номер 190, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 190, страница 228.

190. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 64, \\ x - y = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 9x^2 - 6xy + y^2 = 9, \\ 2x^2 + 2xy - y^2 = 11; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - xy = -6, \\ y^2 - xy = 22; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 18, \\ 3x^2 - 2y^2 = 12; \end{cases}$

5) $\begin{cases} xy - y = -12, \\ 5x - xy = 1; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 + 4y^2 = 8, \\ xy = 2. \end{cases}$

1) Исходная система:
$ \begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 64 \\ x - y = 2 \end{cases} $
Первое уравнение является формулой квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Таким образом, система принимает вид:
$ \begin{cases} (x+y)^2 = 64 \\ x - y = 2 \end{cases} $
Из первого уравнения следует, что $x+y = 8$ или $x+y = -8$. Это приводит к двум независимым системам линейных уравнений.
Случай 1:
$ \begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = 2 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x+y)+(x-y) = 8+2$, что дает $2x = 10$, следовательно $x=5$.
Подставим $x=5$ в любое из уравнений, например, в первое: $5 + y = 8$, откуда $y=3$.
Получаем решение $(5, 3)$.
Случай 2:
$ \begin{cases} x + y = -8 \\ x - y = 2 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x+y)+(x-y) = -8+2$, что дает $2x = -6$, следовательно $x=-3$.
Подставим $x=-3$ в первое уравнение: $-3 + y = -8$, откуда $y=-5$.
Получаем решение $(-3, -5)$.
Ответ: $(5, 3)$, $(-3, -5)$.

2) Исходная система:
$ \begin{cases} 9x^2 - 6xy + y^2 = 9 \\ 2x^2 + 2xy - y^2 = 11 \end{cases} $
Первое уравнение является формулой квадрата разности: $9x^2 - 6xy + y^2 = (3x-y)^2$.
Таким образом, $(3x-y)^2 = 9$, откуда $3x-y = 3$ или $3x-y = -3$.
Случай 1: $3x - y = 3 \implies y = 3x - 3$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2x^2 + 2x(3x-3) - (3x-3)^2 = 11$
$2x^2 + 6x^2 - 6x - (9x^2 - 18x + 9) = 11$
$8x^2 - 6x - 9x^2 + 18x - 9 = 11$
$-x^2 + 12x - 20 = 0 \implies x^2 - 12x + 20 = 0$
По теореме Виета корни уравнения $x_1 = 2$, $x_2 = 10$.
Если $x=2$, то $y = 3(2) - 3 = 3$. Решение: $(2, 3)$.
Если $x=10$, то $y = 3(10) - 3 = 27$. Решение: $(10, 27)$.
Случай 2: $3x - y = -3 \implies y = 3x + 3$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2x^2 + 2x(3x+3) - (3x+3)^2 = 11$
$2x^2 + 6x^2 + 6x - (9x^2 + 18x + 9) = 11$
$8x^2 + 6x - 9x^2 - 18x - 9 = 11$
$-x^2 - 12x - 20 = 0 \implies x^2 + 12x + 20 = 0$
По теореме Виета корни уравнения $x_3 = -2$, $x_4 = -10$.
Если $x=-2$, то $y = 3(-2) + 3 = -3$. Решение: $(-2, -3)$.
Если $x=-10$, то $y = 3(-10) + 3 = -27$. Решение: $(-10, -27)$.
Ответ: $(2, 3)$, $(10, 27)$, $(-2, -3)$, $(-10, -27)$.

3) Исходная система:
$ \begin{cases} x^2 - xy = -6 \\ y^2 - xy = 22 \end{cases} $
Вычтем из второго уравнения первое: $(y^2 - xy) - (x^2 - xy) = 22 - (-6)$, что упрощается до $y^2 - x^2 = 28$.
Сложим два исходных уравнения: $(x^2 - xy) + (y^2 - xy) = -6 + 22$, что упрощается до $x^2 - 2xy + y^2 = 16$.
Последнее уравнение является полным квадратом: $(x-y)^2 = 16$, откуда $x-y = 4$ или $x-y = -4$.
Случай 1: $x-y=4 \implies y-x=-4$.
Используя $y^2 - x^2 = (y-x)(y+x) = 28$, подставим значение $y-x$:
$-4(y+x) = 28 \implies y+x = -7$.
Решаем систему: $ \begin{cases} y - x = -4 \\ y + x = -7 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $2y = -11 \implies y = -5.5$. Вычитая, получим $2x = -3 \implies x = -1.5$. Решение: $(-1.5, -5.5)$.
Случай 2: $x-y=-4 \implies y-x=4$.
Подставляем в $(y-x)(y+x) = 28$:
$4(y+x) = 28 \implies y+x = 7$.
Решаем систему: $ \begin{cases} y - x = 4 \\ y + x = 7 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $2y = 11 \implies y = 5.5$. Вычитая, получим $2x = 3 \implies x = 1.5$. Решение: $(1.5, 5.5)$.
Ответ: $(-1.5, -5.5)$, $(1.5, 5.5)$.

4) Исходная система:
$ \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 18 \\ 3x^2 - 2y^2 = 12 \end{cases} $
Это система линейных уравнений относительно $x^2$ и $y^2$.
Сложим два уравнения: $(3x^2 + 2y^2) + (3x^2 - 2y^2) = 18 + 12 \implies 6x^2 = 30 \implies x^2 = 5$.
Отсюда $x = \pm\sqrt{5}$.
Вычтем из первого уравнения второе: $(3x^2 + 2y^2) - (3x^2 - 2y^2) = 18 - 12 \implies 4y^2 = 6 \implies y^2 = 6/4 = 3/2$.
Отсюда $y = \pm\sqrt{3/2}$.
Комбинируя значения $x$ и $y$, получаем четыре пары решений.
Ответ: $(\sqrt{5}, \sqrt{3/2})$, $(\sqrt{5}, -\sqrt{3/2})$, $(-\sqrt{5}, \sqrt{3/2})$, $(-\sqrt{5}, -\sqrt{3/2})$.

5) Исходная система:
$ \begin{cases} xy - y = -12 \\ 5x - xy = 1 \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(xy - y) + (5x - xy) = -12 + 1$
$5x - y = -11$, откуда выражаем $y$: $y = 5x + 11$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x(5x+11) - (5x+11) = -12$
$5x^2 + 11x - 5x - 11 + 12 = 0$
$5x^2 + 6x + 1 = 0$
Решаем полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 \pm 4}{10}$.
$x_1 = \frac{-2}{10} = -0.2$.
$x_2 = \frac{-10}{10} = -1$.
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = -0.2$, $y_1 = 5(-0.2) + 11 = -1 + 11 = 10$.
При $x_2 = -1$, $y_2 = 5(-1) + 11 = -5 + 11 = 6$.
Ответ: $(-0.2, 10)$, $(-1, 6)$.

6) Исходная система:
$ \begin{cases} x^2 + 4y^2 = 8 \\ xy = 2 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 2/x$ (это возможно, т.к. $xy=2$ означает, что $x \neq 0$).
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + 4(2/x)^2 = 8$
$x^2 + 4(4/x^2) = 8 \implies x^2 + 16/x^2 = 8$
Умножим все уравнение на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:
$x^4 + 16 = 8x^2 \implies x^4 - 8x^2 + 16 = 0$
Сделаем замену $u = x^2$. Уравнение примет вид:
$u^2 - 8u + 16 = 0$
Это формула квадрата разности: $(u-4)^2 = 0$.
Отсюда $u = 4$.
Вернемся к переменной $x$: $x^2 = 4$, что дает два корня $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x = 2$, то $y = 2/2 = 1$.
Если $x = -2$, то $y = 2/(-2) = -1$.
Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$.