Номер 183, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 183, страница 227.

183. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 3 раза меньше соответствующих корней уравнения $2x^2 - 8x + 3 = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ – корни исходного уравнения $2x^2 - 8x + 3 = 0$. По условию, требуется составить новое квадратное уравнение, корнями которого будут числа $y_1 = \frac{x_1}{3}$ и $y_2 = \frac{x_2}{3}$. Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование теоремы Виета

Для исходного уравнения $2x^2 - 8x + 3 = 0$ с коэффициентами $a=2$, $b=-8$, $c=3$ по теореме Виета найдем сумму и произведение его корней.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{2} = 4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$.

Теперь найдем сумму и произведение корней $y_1$ и $y_2$ для нового уравнения.

Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = \frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{3} = \frac{x_1 + x_2}{3} = \frac{4}{3}$.

Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = \frac{x_1}{3} \cdot \frac{x_2}{3} = \frac{x_1 \cdot x_2}{9} = \frac{3/2}{9} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$.

По теореме, обратной теореме Виета, искомое уравнение можно записать в виде $y^2 - (y_1 + y_2)y + (y_1 \cdot y_2) = 0$. Подставим найденные значения:

$y^2 - \frac{4}{3}y + \frac{1}{6} = 0$.

Чтобы избавиться от дробей в коэффициентах, умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (3 и 6), то есть на 6:

$6 \cdot y^2 - 6 \cdot \frac{4}{3}y + 6 \cdot \frac{1}{6} = 0$

$6y^2 - 8y + 1 = 0$.

Способ 2: Метод замены переменной

Пусть $y$ – корень искомого уравнения. По условию, $y = \frac{x}{3}$, где $x$ – корень исходного уравнения. Выразим $x$ через $y$: $x = 3y$.

Подставим выражение $x = 3y$ в исходное уравнение $2x^2 - 8x + 3 = 0$:

$2(3y)^2 - 8(3y) + 3 = 0$.

Выполним преобразования:

$2(9y^2) - 24y + 3 = 0$

$18y^2 - 24y + 3 = 0$.

Полученное уравнение можно упростить, разделив все его члены на их наибольший общий делитель, который равен 3:

$\frac{18}{3}y^2 - \frac{24}{3}y + \frac{3}{3} = 0$

$6y^2 - 8y + 1 = 0$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Обычно в итоговом уравнении переменную снова обозначают как $x$.

Ответ: $6x^2 - 8x + 1 = 0$.