Номер 176, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 176, страница 226.

176. Число $\frac{1}{3}$ является корнем уравнения $3x^2 - bx + 2 = 0$. Найдите значение $b$ и второй корень уравнения.

Найдите значение b

Поскольку число $\frac{1}{3}$ является корнем уравнения $3x^2 - bx + 2 = 0$, то при подстановке этого значения вместо $x$ уравнение обращается в верное числовое равенство.

Подставим $x = \frac{1}{3}$ в уравнение:

$3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 - b \cdot \frac{1}{3} + 2 = 0$

Выполним вычисления:

$3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{b}{3} + 2 = 0$

$\frac{3}{9} - \frac{b}{3} + 2 = 0$

$\frac{1}{3} - \frac{b}{3} + 2 = 0$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателей:

$3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 3 \cdot \left(\frac{b}{3}\right) + 3 \cdot 2 = 3 \cdot 0$

$1 - b + 6 = 0$

$7 - b = 0$

$b = 7$

Ответ: $b = 7$.

Найдите второй корень уравнения

Теперь, когда известно значение $b=7$, мы можем записать уравнение в полном виде:

$3x^2 - 7x + 2 = 0$

Для нахождения второго корня воспользуемся теоремой Виета для полного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Согласно теореме, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно $\frac{c}{a}$.

В нашем уравнении коэффициенты равны $a=3$, $b=-7$, $c=2$. Один корень нам известен: $x_1 = \frac{1}{3}$.

Запишем формулу для произведения корней и подставим известные значения:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

$\frac{1}{3} \cdot x_2 = \frac{2}{3}$

Чтобы найти $x_2$, умножим обе части равенства на 3:

$x_2 = \frac{2}{3} \cdot 3$

$x_2 = 2$

Ответ: второй корень уравнения равен 2.