Номер 173, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 173, страница 226.

173. Докажите, что при любом значении $p$ имеет два корня уравнение:

1) $2x^2 - px - 1 = 0;$

2) $x^2 + px + p - 3 = 0.$

1)

Чтобы доказать, что уравнение $2x^2 - px - 1 = 0$ имеет два корня при любом значении $p$, необходимо показать, что его дискриминант всегда положителен.
Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ строго больше нуля ($D > 0$).
Для данного уравнения коэффициенты равны:
$a = 2$
$b = -p$
$c = -1$
Вычислим дискриминант:
$D = (-p)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = p^2 + 8$.
Теперь проанализируем выражение для дискриминанта $D = p^2 + 8$.
Квадрат любого действительного числа $p$ является неотрицательным, то есть $p^2 \ge 0$.
Прибавляя к неотрицательному значению $p^2$ положительное число 8, мы всегда получаем строго положительный результат: $p^2 + 8 \ge 0 + 8 = 8$.
Так как $8 > 0$, то и дискриминант $D = p^2 + 8$ всегда больше нуля при любом значении $p$.
Следовательно, уравнение $2x^2 - px - 1 = 0$ всегда имеет два различных корня.

Ответ: Доказано.

2)

Аналогично докажем, что уравнение $x^2 + px + p - 3 = 0$ имеет два корня при любом значении $p$, показав, что его дискриминант всегда положителен.
Для данного уравнения коэффициенты равны:
$a = 1$
$b = p$
$c = p - 3$
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p - 3) = p^2 - 4p + 12$.
Чтобы доказать, что выражение $p^2 - 4p + 12$ всегда положительно, преобразуем его, выделив полный квадрат:
$D = p^2 - 4p + 12 = (p^2 - 4p + 4) - 4 + 12 = (p - 2)^2 + 8$.
Проанализируем полученное выражение $D = (p - 2)^2 + 8$.
Выражение $(p - 2)^2$ как квадрат действительного числа всегда неотрицательно: $(p - 2)^2 \ge 0$.
Сумма неотрицательного числа $(p - 2)^2$ и положительного числа 8 всегда будет строго положительной: $(p - 2)^2 + 8 \ge 0 + 8 = 8$.
Так как $8 > 0$, то и дискриминант $D = (p - 2)^2 + 8$ всегда больше нуля при любом значении $p$.
Следовательно, уравнение $x^2 + px + p - 3 = 0$ всегда имеет два различных корня.

Ответ: Доказано.