Номер 181, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 181, страница 227.

181. Известно, что $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $x^2 - 8x + 5 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $(x_1 - x_2)^2$;

4) $x_1^3 + x_2^3$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 x_2 = q$.

В данном уравнении $x^2 - 8x + 5 = 0$ коэффициенты равны $p = -8$ и $q = 5$.

Следовательно, по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$.

Произведение корней: $x_1 x_2 = 5$.

Теперь, используя эти два соотношения, найдем значения заданных выражений.

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{8}{5} = 1.6$

Ответ: $1.6$

2) $x_1^2 + x_2^2$

Выразим сумму квадратов через сумму и произведение корней, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Из нее следует, что $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения:

$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 8^2 - 2 \cdot 5 = 64 - 10 = 54$

Ответ: $54$

3) $(x_1 - x_2)^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата разности:

$(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) - 2x_1x_2$

Мы уже нашли значение $x_1^2 + x_2^2$ в предыдущем пункте. Подставим его и значение произведения корней:

$54 - 2 \cdot 5 = 54 - 10 = 44$

Также можно воспользоваться тождеством $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 8^2 - 4 \cdot 5 = 64 - 20 = 44$

Ответ: $44$

4) $x_1^3 + x_2^3$

Воспользуемся формулой суммы кубов, выраженной через элементарные симметрические многочлены: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)$

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$8^3 - 3 \cdot 5 \cdot 8 = 512 - 120 = 392$

Ответ: $392$