Номер 124, страница 221 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Элементы статистики и теории вероятности - номер 124, страница 221.

Учебник.

124. На двух параллельных прямых обозначили точки – $3$ на одной и $1$ на второй. Из этих $4$ точек наугад выбирают три. Какова вероятность того, что выбранные точки являются вершинами треугольника?

Решение 2.

Для решения задачи нужно найти общее число возможных исходов (способов выбрать 3 точки из 4) и число благоприятных исходов (способов выбрать 3 точки так, чтобы они образовали треугольник). Вероятность будет отношением благоприятных исходов к общему числу исходов.

Всего в задаче дано $3 + 1 = 4$ точки.

1. Найдем общее число способов выбрать 3 точки из 4.
Это комбинаторная задача на нахождение числа сочетаний из $n$ по $k$, которое вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В нашем случае $n=4$ (всего точек), $k=3$ (выбираем точек).
Общее число исходов $N_{общ}$ равно:
$N_{общ} = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$.
Таким образом, существует всего 4 различных способа выбрать 3 точки из 4.

2. Найдем число благоприятных исходов.
Три точки образуют треугольник только в том случае, если они не лежат на одной прямой (не являются коллинеарными).
Выясним, в каких случаях выбранные 3 точки могут лежать на одной прямой. Это возможно только тогда, когда все три точки взяты с первой прямой, на которой как раз находится 3 точки.
Число способов выбрать 3 точки, лежащие на одной прямой, равно числу способов выбрать 3 точки из 3, имеющихся на первой прямой:
$N_{небл} = C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3! \cdot 0!} = 1$.
Это единственный неблагоприятный исход, так как на второй прямой всего одна точка, и выбрать там три точки невозможно.
Число благоприятных исходов (когда точки образуют треугольник) можно найти, вычтя из общего числа исходов число неблагоприятных:
$N_{бл} = N_{общ} - N_{небл} = 4 - 1 = 3$.

3. Найдем вероятность.
Вероятность $P$ события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P = \frac{N_{бл}}{N_{общ}} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$