Номер 161, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные выражения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 161, страница 225.

161. Упростите выражение:

1) $\frac{a^2 + ab + 5a + 5b}{a^2 + 2ab + b^2} : \frac{a^2 - 25}{a^2 + ab - 5a - 5b};$

2) $\frac{a^2 - a + ab - b}{a^2 - a - ab + b} : \frac{a^2 + a + ab + b}{a^2 + a - ab - b}.$

1)

Исходное выражение: $ \frac{a^2 + ab + 5a + 5b}{a^2 + 2ab + b^2} : \frac{a^2 - 25}{a^2 + ab - 5a - 5b} $.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$ \frac{a^2 + ab + 5a + 5b}{a^2 + 2ab + b^2} \cdot \frac{a^2 + ab - 5a - 5b}{a^2 - 25} $

Теперь разложим на множители числители и знаменатели всех дробей, используя метод группировки и формулы сокращенного умножения.

Числитель первой дроби: $ a^2 + ab + 5a + 5b = (a^2 + ab) + (5a + 5b) = a(a+b) + 5(a+b) = (a+b)(a+5) $.

Знаменатель первой дроби — это формула квадрата суммы: $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $.

Числитель второй дроби (который был знаменателем до переворачивания): $ a^2 + ab - 5a - 5b = (a^2 + ab) - (5a + 5b) = a(a+b) - 5(a+b) = (a+b)(a-5) $.

Знаменатель второй дроби — это формула разности квадратов: $ a^2 - 25 = a^2 - 5^2 = (a-5)(a+5) $.

Подставим полученные разложения в выражение:

$ \frac{(a+b)(a+5)}{(a+b)^2} \cdot \frac{(a+b)(a-5)}{(a-5)(a+5)} $

Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Можно записать все под одной дробной чертой для наглядности:

$ \frac{(a+b)(a+5)(a+b)(a-5)}{(a+b)^2(a-5)(a+5)} = \frac{(a+b)^2(a+5)(a-5)}{(a+b)^2(a+5)(a-5)} = 1 $

Ответ: 1

2)

Исходное выражение: $ \frac{a^2 - a + ab - b}{a^2 - a - ab + b} : \frac{a^2 + a + ab + b}{a^2 + a - ab - b} $.

Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:

$ \frac{a^2 - a + ab - b}{a^2 - a - ab + b} \cdot \frac{a^2 + a - ab - b}{a^2 + a + ab + b} $

Разложим на множители все числители и знаменатели методом группировки.

Числитель первой дроби: $ a^2 - a + ab - b = (a^2 - a) + (ab - b) = a(a-1) + b(a-1) = (a-1)(a+b) $.

Знаменатель первой дроби: $ a^2 - a - ab + b = (a^2 - a) - (ab - b) = a(a-1) - b(a-1) = (a-1)(a-b) $.

Числитель второй дроби: $ a^2 + a - ab - b = (a^2 + a) - (ab + b) = a(a+1) - b(a+1) = (a+1)(a-b) $.

Знаменатель второй дроби: $ a^2 + a + ab + b = (a^2 + a) + (ab + b) = a(a+1) + b(a+1) = (a+1)(a+b) $.

Подставим разложенные многочлены в наше выражение:

$ \frac{(a-1)(a+b)}{(a-1)(a-b)} \cdot \frac{(a+1)(a-b)}{(a+1)(a+b)} $

Объединим множители под одной дробной чертой и произведем сокращение:

$ \frac{(a-1)(a+b)(a+1)(a-b)}{(a-1)(a-b)(a+1)(a+b)} $

Все множители в числителе и знаменателе взаимно сокращаются.

$ \frac{\cancel{(a-1)}\cancel{(a+b)}\cancel{(a+1)}\cancel{(a-b)}}{\cancel{(a-1)}\cancel{(a-b)}\cancel{(a+1)}\cancel{(a+b)}} = 1 $

Ответ: 1