Номер 163, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные выражения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 163, страница 225.

163. Из данного равенства выразите переменную a через остальные переменные:

1) $\frac{3}{a} = b + \frac{2}{c}$;

2) $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{c}$;

3) $\frac{a+b}{a-b} = c.$

1) Дано равенство $ \frac{3}{a} = b + \frac{2}{c} $. Чтобы выразить переменную $a$, выполним следующие шаги.

Сначала приведем выражение в правой части к общему знаменателю $c$:

$ b + \frac{2}{c} = \frac{bc}{c} + \frac{2}{c} = \frac{bc+2}{c} $

Теперь наше равенство выглядит так:

$ \frac{3}{a} = \frac{bc+2}{c} $

Это пропорция. Чтобы найти $a$, мы можем "перевернуть" обе части равенства:

$ \frac{a}{3} = \frac{c}{bc+2} $

Наконец, умножим обе части на 3, чтобы выделить $a$:

$ a = \frac{3c}{bc+2} $

Ответ: $ a = \frac{3c}{bc+2} $

2) Дано равенство $ \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{c} $. Наша цель — выразить $a$.

Для этого сначала изолируем слагаемое, содержащее $a$. Перенесем $ \frac{1}{a} $ в правую часть уравнения, а $ \frac{1}{c} $ — в левую, поменяв их знаки:

$ \frac{1}{b} - \frac{1}{c} = \frac{1}{a} $

Теперь приведем левую часть к общему знаменателю $bc$:

$ \frac{c}{bc} - \frac{b}{bc} = \frac{1}{a} $

$ \frac{c-b}{bc} = \frac{1}{a} $

Чтобы найти $a$, "перевернем" обе части полученного равенства:

$ a = \frac{bc}{c-b} $

Ответ: $ a = \frac{bc}{c-b} $

3) Дано равенство $ \frac{a+b}{a-b} = c $. Выразим переменную $a$.

Домножим обе части равенства на знаменатель $ (a-b) $, чтобы избавиться от дроби (при условии, что $ a-b \ne 0 $):

$ a+b = c(a-b) $

Раскроем скобки в правой части:

$ a+b = ca - cb $

Теперь необходимо собрать все слагаемые с переменной $a$ в одной части равенства, а остальные слагаемые — в другой. Перенесем $a$ вправо, а $-cb$ влево:

$ b + cb = ca - a $

Вынесем общие множители за скобки в обеих частях:

$ b(1+c) = a(c-1) $

Наконец, чтобы найти $a$, разделим обе части на $ (c-1) $ (при условии, что $ c-1 \ne 0 $):

$ a = \frac{b(1+c)}{c-1} $

Ответ: $ a = \frac{b(c+1)}{c-1} $