Номер 203, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 203, страница 230.

203. Каково множество решений неравенства:

1) $(x+2)^2 \ge 0;$

2) $(x+2)^2 \le 0;$

3) $(x+2)^2 > 0;$

4) $(x+2)^2 < 0;$

5) $0x < -5;$

6) $0x \ge -5;$

7) $0x < 5;$

8) $0x \ge 5?$

1) Рассматриваем неравенство $(x+2)^2 \ge 0$. Выражение в левой части представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, данное неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).

2) Рассматриваем неравенство $(x+2)^2 \le 0$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Он может быть только больше или равен нулю. Единственный случай, когда это неравенство может выполняться, — это когда $(x+2)^2 = 0$. Это уравнение равносильно $x+2=0$, откуда $x=-2$.
Ответ: $x = -2$.

3) Рассматриваем неравенство $(x+2)^2 > 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Он равен нулю только в том случае, когда само число равно нулю. Таким образом, неравенство будет верным для всех $x$, кроме того значения, при котором $(x+2)^2=0$, то есть $x=-2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$ (все действительные числа, кроме -2).

4) Рассматриваем неравенство $(x+2)^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа никогда не бывает отрицательным. Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых это неравенство было бы верным.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

5) Рассматриваем неравенство $0x < -5$. При умножении любого числа $x$ на 0, результат всегда будет 0. Таким образом, неравенство принимает вид $0 < -5$. Это утверждение является ложным. Следовательно, неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

6) Рассматриваем неравенство $0x \ge -5$. Левая часть неравенства $0 \cdot x$ всегда равна 0. Неравенство принимает вид $0 \ge -5$. Это утверждение является истинным. Поскольку оно истинно независимо от значения $x$, решением является любое действительное число.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).

7) Рассматриваем неравенство $0x < 5$. Левая часть $0 \cdot x$ всегда равна 0. Неравенство сводится к $0 < 5$. Это утверждение является истинным для любого значения $x$. Следовательно, множество решений — все действительные числа.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).

8) Рассматриваем неравенство $0x \ge 5$. Левая часть $0 \cdot x$ равна 0. Неравенство принимает вид $0 \ge 5$. Это утверждение является ложным. Следовательно, не существует таких значений $x$, которые удовлетворяли бы данному неравенству.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).