Номер 207, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 207, страница 230.

207. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $x-5<3x+8;$

2) $18x^2-(3x-2)(6x+5) \le 20.$

1) Решим линейное неравенство $x - 5 < 3x + 8$.
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:
$x - 3x < 8 + 5$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:
$-2x < 13$
Разделим обе части на $-2$. Важно помнить, что при делении или умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{13}{-2}$
$x > -6.5$
Требуется найти наименьшее целое решение. Первое целое число, которое больше $-6.5$, это $-6$.
Ответ: -6.

2) Решим неравенство $18x^2 - (3x - 2)(6x + 5) \le 20$.
Для начала, раскроем скобки, перемножив два двучлена:
$(3x - 2)(6x + 5) = 3x \cdot 6x + 3x \cdot 5 - 2 \cdot 6x - 2 \cdot 5 = 18x^2 + 15x - 12x - 10 = 18x^2 + 3x - 10$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное неравенство:
$18x^2 - (18x^2 + 3x - 10) \le 20$
Раскроем скобки, поменяв знаки у слагаемых внутри них:
$18x^2 - 18x^2 - 3x + 10 \le 20$
Слагаемые $18x^2$ и $-18x^2$ взаимно уничтожаются:
$-3x + 10 \le 20$
Перенесем свободный член в правую часть:
$-3x \le 20 - 10$
$-3x \le 10$
Разделим обе части на $-3$, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \ge \frac{10}{-3}$
$x \ge -3\frac{1}{3}$
Требуется найти наименьшее целое решение. Первое целое число, которое больше или равно $-3\frac{1}{3}$, это $-3$.
Ответ: -3.