Номер 211, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов - номер 211, страница 230.

Учебник.

211. При каких значениях $a$ уравнение:

1) $x^2 + x - a = 0$ не имеет корней;

2) $2x^2 - 16x + 5a = 0$ имеет хотя бы один действительный корень?

Решение 2.

1) Данное уравнение является квадратным уравнением вида $Ax^2+Bx+C=0$. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ является отрицательным числом, то есть $D<0$.
Для уравнения $x^2+x-a=0$ определим коэффициенты: $A=1$, $B=1$, $C=-a$.
Теперь вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 1 + 4a$.
Чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться неравенство $D < 0$:
$1 + 4a < 0$
$4a < -1$
$a < -\frac{1}{4}$
Следовательно, уравнение не имеет корней при всех значениях $a$, меньших $-\frac{1}{4}$.
Ответ: $a \in (-\infty; -1/4)$.

2) Уравнение $2x^2-16x+5a=0$ является квадратным. Оно будет иметь хотя бы один действительный корень в том случае, если его дискриминант $D$ будет неотрицательным, то есть $D \ge 0$. Если $D>0$, уравнение имеет два различных действительных корня, а если $D=0$ — один действительный корень (или два совпадающих).
Для данного уравнения коэффициенты равны: $A=2$, $B=-16$, $C=5a$.
Вычислим дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (-16)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (5a) = 256 - 40a$.
Теперь решим неравенство $D \ge 0$, чтобы найти значения $a$, при которых есть хотя бы один корень:
$256 - 40a \ge 0$
$256 \ge 40a$
$a \le \frac{256}{40}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:
$a \le \frac{32}{5}$
$a \le 6.4$
Следовательно, уравнение имеет хотя бы один действительный корень при всех значениях $a$, не превышающих 6.4.
Ответ: $a \in (-\infty; 6.4]$.