Номер 218, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 218, страница 231.

218. При каких значениях $b$ наибольшим целым решением системы неравенств

$$\begin{cases} x \le b, \\ x < -2 \end{cases}$$

является число $-5$?

Решением системы неравенств является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Запишем множества решений для каждого неравенства:

1. $x \le b$ соответствует числовому промежутку $(-\infty, b]$.

2. $x < -2$ соответствует числовому промежутку $(-\infty, -2)$.

Решение системы — это пересечение этих промежутков. Рассмотрим два возможных случая в зависимости от значения $b$.

Случай 1: $b \ge -2$.

В этом случае точка $b$ находится на числовой оси правее или совпадает с точкой $-2$. Пересечением промежутков $(-\infty, b]$ и $(-\infty, -2)$ будет промежуток $(-\infty, -2)$. Целые числа, принадлежащие этому промежутку: ..., $-5, -4, -3$. Наибольшим целым решением в этом случае является число $-3$. Это не соответствует условию задачи, согласно которому наибольшим целым решением должно быть число $-5$.

Случай 2: $b < -2$.

В этом случае точка $b$ находится на числовой оси левее точки $-2$. Пересечением промежутков $(-\infty, b]$ и $(-\infty, -2)$ будет промежуток $(-\infty, b]$. Таким образом, решение системы неравенств — это $x \le b$.

Нам необходимо, чтобы наибольшим целым решением этого неравенства было число $-5$. Это означает, что:

а) Число $-5$ должно быть решением, то есть должно выполняться условие $-5 \le b$.

б) Следующее за ним целое число, $-4$, не должно быть решением, то есть должно выполняться условие $-4 > b$, или $b < -4$.

Чтобы оба эти условия выполнялись одновременно, значение $b$ должно находиться в следующем промежутке:

$$ -5 \le b < -4 $$

Таким образом, при любом значении $b$ из полуинтервала $[-5, -4)$ наибольшим целым решением системы будет число $-5$.

Ответ: $ -5 \le b < -4 $.