Номер 222, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 222, страница 231.

222. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $1.5x^2+2x-2 < 0$;

2) $-2x^2-17x-30 \ge 0.$

1) 1,5x² + 2x - 2 < 0;

Для решения данного квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $1,5x^2 + 2x - 2 = 0$.

Чтобы избавиться от десятичной дроби в коэффициенте, умножим обе части уравнения на 2:
$3x^2 + 4x - 4 = 0$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$.

Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Графиком функции $y = 1,5x^2 + 2x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1,5 > 0$). Следовательно, значения функции меньше нуля (y < 0) находятся на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $x \in (-2; \frac{2}{3})$.

Целыми числами, которые принадлежат этому интервалу, являются -1 и 0.

Наибольшее из этих целых решений равно 0.
Ответ: 0.

2) -2x² - 17x - 30 ≥ 0.

Умножим обе части неравенства на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. При этом знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$2x^2 + 17x + 30 \leq 0$.

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $2x^2 + 17x + 30 = 0$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 17^2 - 4 \cdot 2 \cdot 30 = 289 - 240 = 49$.

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-17 - 7}{4} = \frac{-24}{4} = -6$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-17 + 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$.

Графиком функции $y = 2x^2 + 17x + 30$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($2 > 0$). Следовательно, значения функции меньше или равны нулю (y ≤ 0) находятся на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является отрезок $x \in [-6; -2,5]$.

Целыми числами, которые принадлежат этому отрезку, являются -6, -5, -4, -3.

Наибольшее из этих целых решений равно -3.
Ответ: -3.