Номер 224, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов - номер 224, страница 231.

Учебник.

224. При каких значениях b имеет два различных действительных корня уравнение:

1) $x^2 - 6bx + 8b + 1 = 0$;

2) $2x^2 + 2(b - 4)x + b = 0?$

Решение 2.

1) $x^2 - 6bx + 8b + 1 = 0$

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля.

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Определим его коэффициенты в стандартном виде $ax^2 + Bx + C = 0$:

$a = 1$

$B = -6b$

$C = 8b + 1$

Найдем дискриминант:

$D = B^2 - 4aC = (-6b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8b + 1) = 36b^2 - 32b - 4$

Условие наличия двух различных действительных корней: $D > 0$.

$36b^2 - 32b - 4 > 0$

Для упрощения разделим обе части неравенства на 4:

$9b^2 - 8b - 1 > 0$

Теперь решим это квадратное неравенство относительно $b$. Для этого найдем корни соответствующего уравнения $9b^2 - 8b - 1 = 0$.

Дискриминант этого уравнения (назовем его $D_b$):

$D_b = (-8)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100$

Корни уравнения:

$b_1 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{8 - 10}{18} = \frac{-2}{18} = -\frac{1}{9}$

$b_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{8 + 10}{18} = \frac{18}{18} = 1$

Графиком функции $y = 9b^2 - 8b - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $b^2$ положителен: $9 > 0$). Следовательно, неравенство $9b^2 - 8b - 1 > 0$ выполняется, когда $b$ находится вне интервала между корнями.

Таким образом, $b < -\frac{1}{9}$ или $b > 1$.

Ответ: $b \in (-\infty; -\frac{1}{9}) \cup (1; +\infty)$

2) $2x^2 + 2(b - 4)x + b = 0$

Как и в первом пункте, уравнение должно иметь дискриминант $D > 0$, чтобы иметь два различных действительных корня.

Коэффициенты этого квадратного уравнения:

$a = 2$

$B = 2(b - 4)$

$C = b$

Поскольку коэффициент $B$ является четным, удобно использовать формулу для четверти дискриминанта $D/4 = (B/2)^2 - aC$. Условие наличия двух различных корней при этом будет $D/4 > 0$.

$B/2 = b - 4$

$\frac{D}{4} = (b - 4)^2 - 2 \cdot b = (b^2 - 8b + 16) - 2b = b^2 - 10b + 16$

Решим неравенство:

$b^2 - 10b + 16 > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $b^2 - 10b + 16 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 16. Отсюда корни $b_1 = 2$ и $b_2 = 8$.

Проверим через дискриминант:

$D_b = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$

$b_1 = \frac{10 - \sqrt{36}}{2} = \frac{10 - 6}{2} = 2$

$b_2 = \frac{10 + \sqrt{36}}{2} = \frac{10 + 6}{2} = 8$

Графиком функции $y = b^2 - 10b + 16$ является парабола с ветвями вверх (коэффициент при $b^2$ положителен: $1 > 0$). Следовательно, неравенство $b^2 - 10b + 16 > 0$ выполняется, когда $b$ находится вне интервала между корнями.

Таким образом, $b < 2$ или $b > 8$.

Ответ: $b \in (-\infty; 2) \cup (8; +\infty)$