Номер 212, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов - номер 212, страница 230.

Учебник.

212. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} 7x - 1 \ge 5x - 3 \\ 3x + 6 \ge 8x - 14 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 0,6(x - 6) \le x + 2 \\ 4x + 7 > 2(x + 6,5) \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3x(x - 3) - x(2 + 3x) < 4 \\ 6x^2 - (2x - 3)(3x + 4) < 17 \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{5x - 10}{6} > \frac{2x + 1}{3} , \\ \frac{3x + 1}{2} - 4x > 5 - \frac{3x - 2}{4} \end{cases}$

5) $\begin{cases} 3x - 4 > 3(x + 1) - 10 \\ 0,2(5 - x) \le 1,5(x + 1,4) + 0,6 \end{cases}$

6) $\begin{cases} 1 - \frac{3x - 8}{7} > 3x \\ x(x - 4) - (x + 1)(x - 5) < 2 \end{cases}$

Решение 2.

1)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 7x - 1 \ge 5x - 3 \\ 3x + 6 \ge 8x - 14 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$7x - 1 \ge 5x - 3$

$7x - 5x \ge -3 + 1$

$2x \ge -2$

$x \ge -1$

Решим второе неравенство:

$3x + 6 \ge 8x - 14$

$6 + 14 \ge 8x - 3x$

$20 \ge 5x$

$4 \ge x$, что равносильно $x \le 4$.

Найдем пересечение решений: $x \ge -1$ и $x \le 4$.

Общим решением является промежуток $[-1, 4]$.

Ответ: $[-1, 4]$.

2)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 0,6(x - 6) \le x + 2 \\ 4x + 7 > 2(x + 6,5) \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$0,6(x - 6) \le x + 2$

$0,6x - 3,6 \le x + 2$

$-3,6 - 2 \le x - 0,6x$

$-5,6 \le 0,4x$

$x \ge \frac{-5,6}{0,4}$

$x \ge -14$

Решим второе неравенство:

$4x + 7 > 2(x + 6,5)$

$4x + 7 > 2x + 13$

$4x - 2x > 13 - 7$

$2x > 6$

$x > 3$

Найдем пересечение решений: $x \ge -14$ и $x > 3$.

Общим решением является промежуток $(3, +\infty)$.

Ответ: $(3, +\infty)$.

3)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 3x(x - 3) - x(2 + 3x) < 4 \\ 6x^2 - (2x - 3)(3x + 4) < 17 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$3x(x - 3) - x(2 + 3x) < 4$

$3x^2 - 9x - 2x - 3x^2 < 4$

$-11x < 4$

$x > -\frac{4}{11}$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)

Решим второе неравенство:

$6x^2 - (2x - 3)(3x + 4) < 17$

$6x^2 - (6x^2 + 8x - 9x - 12) < 17$

$6x^2 - (6x^2 - x - 12) < 17$

$6x^2 - 6x^2 + x + 12 < 17$

$x + 12 < 17$

$x < 17 - 12$

$x < 5$

Найдем пересечение решений: $x > -\frac{4}{11}$ и $x < 5$.

Общим решением является промежуток $(-\frac{4}{11}, 5)$.

Ответ: $(-\frac{4}{11}, 5)$.

4)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} \frac{5x - 10}{6} > \frac{2x + 1}{3} \\ \frac{3x + 1}{2} - 4x > 5 - \frac{3x - 2}{4} \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{5x - 10}{6} > \frac{2x + 1}{3}$

Умножим обе части на 6:

$5x - 10 > 2(2x + 1)$

$5x - 10 > 4x + 2$

$5x - 4x > 2 + 10$

$x > 12$

Решим второе неравенство:

$\frac{3x + 1}{2} - 4x > 5 - \frac{3x - 2}{4}$

Умножим обе части на 4:

$2(3x + 1) - 4 \cdot 4x > 4 \cdot 5 - (3x - 2)$

$6x + 2 - 16x > 20 - 3x + 2$

$-10x + 2 > 22 - 3x$

$2 - 22 > -3x + 10x$

$-20 > 7x$

$x < -\frac{20}{7}$

Найдем пересечение решений: $x > 12$ и $x < -\frac{20}{7}$.

Нет таких значений $x$, которые одновременно больше 12 и меньше $-\frac{20}{7}$. Пересечение множеств пусто.

Ответ: нет решений.

5)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 3x - 4 > 3(x + 1) - 10 \\ 0,2(5 - x) \le 1,5(x + 1,4) + 0,6 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$3x - 4 > 3(x + 1) - 10$

$3x - 4 > 3x + 3 - 10$

$3x - 4 > 3x - 7$

$-4 > -7$

Это верное числовое неравенство, значит, оно выполняется при любом значении $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$0,2(5 - x) \le 1,5(x + 1,4) + 0,6$

Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$2(5 - x) \le 15(x + 1,4) + 6$

$10 - 2x \le 15x + 21 + 6$

$10 - 2x \le 15x + 27$

$10 - 27 \le 15x + 2x$

$-17 \le 17x$

$-1 \le x$ или $x \ge -1$

Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, +\infty)$ и $x \ge -1$.

Общим решением является промежуток $[-1, +\infty)$.

Ответ: $[-1, +\infty)$.

6)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 1 - \frac{3x - 8}{7} > 3x \\ x(x - 4) - (x + 1)(x - 5) < 2 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$1 - \frac{3x - 8}{7} > 3x$

Умножим обе части на 7:

$7 \cdot 1 - (3x - 8) > 7 \cdot 3x$

$7 - 3x + 8 > 21x$

$15 > 21x + 3x$

$15 > 24x$

$x < \frac{15}{24}$

$x < \frac{5}{8}$

Решим второе неравенство:

$x(x - 4) - (x + 1)(x - 5) < 2$

$x^2 - 4x - (x^2 - 5x + x - 5) < 2$

$x^2 - 4x - (x^2 - 4x - 5) < 2$

$x^2 - 4x - x^2 + 4x + 5 < 2$

$5 < 2$

Это неверное числовое неравенство, значит, оно не имеет решений.

Поскольку второе неравенство системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.

Ответ: нет решений.