Номер 208, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 208, страница 230.

208. Сколько целых отрицательных решений имеет неравенство

$x - \frac{x+7}{4} - \frac{5x+40}{12} < \frac{4x-5}{3}$?

Чтобы решить неравенство $x - \frac{x+7}{4} - \frac{5x+40}{12} < \frac{4x-5}{3}$, первым шагом избавимся от знаменателей. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 4, 12 и 3. НОК(4, 12, 3) = 12.

Умножим обе части неравенства на 12. Поскольку 12 — положительное число, знак неравенства сохранится:
$12 \cdot x - 12 \cdot \frac{x+7}{4} - 12 \cdot \frac{5x+40}{12} < 12 \cdot \frac{4x-5}{3}$

Выполним умножение и сократим дроби:
$12x - 3(x+7) - (5x+40) < 4(4x-5)$

Теперь раскроем скобки. Важно обратить внимание на знак минус перед скобками:
$12x - 3x - 21 - 5x - 40 < 16x - 20$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:
$(12x - 3x - 5x) + (-21 - 40) < 16x - 20$
$4x - 61 < 16x - 20$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой. Перенесем $4x$ вправо, а $-20$ влево:
$-61 + 20 < 16x - 4x$
$-41 < 12x$

Разделим обе части на 12, чтобы выразить $x$:
$x > -\frac{41}{12}$

Для удобства представим неправильную дробь в виде смешанного числа:
$-\frac{41}{12} = -3\frac{5}{12}$
Следовательно, решение неравенства: $x > -3\frac{5}{12}$.

В задаче требуется найти количество целых отрицательных решений. Это целые числа $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям: $x > -3\frac{5}{12}$ и $x < 0$.
Найдем все целые числа, которые больше $-3\frac{5}{12}$: это -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...
Из этого списка выберем только отрицательные числа: -3, -2, -1.
Таким образом, неравенство имеет три целых отрицательных решения.

Ответ: 3