Номер 210, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 210, страница 230.

210. Решите неравенство:

1) $(x + 5)(x - 1) \leq 1 + (x + 2)^2$;

2) $\frac{x + 1}{2} - \frac{x + 12}{6} > \frac{x - 3}{3}$;

3) $(6x - 1)^2 - 12x(3x - 1) \geq 1$;

4) $(y + 4)(y - 6) - (y - 1)^2 > -25$.

1) $(x + 5)(x - 1) \le 1 + (x + 2)^2$
Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства.
В левой части: $(x + 5)(x - 1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$.
В правой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$1 + (x + 2)^2 = 1 + (x^2 + 4x + 4) = x^2 + 4x + 5$.
Теперь неравенство имеет вид:
$x^2 + 4x - 5 \le x^2 + 4x + 5$.
Перенесем все члены, содержащие $x$, в левую часть, а числовые члены - в правую:
$x^2 + 4x - x^2 - 4x \le 5 + 5$.
Приведем подобные слагаемые:
$0 \le 10$.
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство выполняется при любом значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) $\frac{x + 1}{2} - \frac{x + 12}{6} > \frac{x - 3}{3}$
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2, 6 и 3, которое равно 6.
$6 \cdot \left(\frac{x + 1}{2} - \frac{x + 12}{6}\right) > 6 \cdot \frac{x - 3}{3}$
$3(x + 1) - (x + 12) > 2(x - 3)$.
Раскроем скобки:
$3x + 3 - x - 12 > 2x - 6$.
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$2x - 9 > 2x - 6$.
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а числа - в правую:
$2x - 2x > -6 + 9$.
$0 > 3$.
Мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

3) $(6x - 1)^2 - 12x(3x - 1) \ge 1$
Раскроем скобки в левой части неравенства. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$(6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot 1 + 1^2 - 12x \cdot 3x - 12x \cdot (-1) \ge 1$.
$36x^2 - 12x + 1 - 36x^2 + 12x \ge 1$.
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(36x^2 - 36x^2) + (-12x + 12x) + 1 \ge 1$.
$1 \ge 1$.
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство выполняется при любом значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

4) $(y + 4)(y - 6) - (y - 1)^2 > -25$
Раскроем скобки в левой части неравенства.
$(y^2 - 6y + 4y - 24) - (y^2 - 2y + 1) > -25$.
$y^2 - 2y - 24 - y^2 + 2y - 1 > -25$.
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(y^2 - y^2) + (-2y + 2y) + (-24 - 1) > -25$.
$-25 > -25$.
Мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.