Номер 206, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 206, страница 230.

206. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $3x + 9 > 5x - 7;$

2) $14x^2 - (2x - 3)(7x + 4) \le 14.$

1) Решим линейное неравенство $3x + 9 > 5x - 7$.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть неравенства, а свободные члены — в другую. Чтобы сохранить знак неравенства, удобнее перенести $x$ вправо, а числа влево.

$9 + 7 > 5x - 3x$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$16 > 2x$

Разделим обе части неравенства на 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не меняется:

$8 > x$

Это неравенство можно записать как $x < 8$. Множество решений неравенства — это все числа, которые строго меньше 8. Нам нужно найти наибольшее целое решение. Наибольшим целым числом, которое меньше 8, является 7.

Ответ: 7

2) Решим неравенство $14x^2 - (2x - 3)(7x + 4) \le 14$.

Сначала раскроем скобки, перемножив двучлены $(2x - 3)$ и $(7x + 4)$:

$(2x - 3)(7x + 4) = 2x \cdot 7x + 2x \cdot 4 - 3 \cdot 7x - 3 \cdot 4 = 14x^2 + 8x - 21x - 12 = 14x^2 - 13x - 12$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное неравенство:

$14x^2 - (14x^2 - 13x - 12) \le 14$

Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус. Для этого изменим знаки всех слагаемых внутри скобок на противоположные:

$14x^2 - 14x^2 + 13x + 12 \le 14$

Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$13x + 12 \le 14$

Получилось линейное неравенство. Перенесем свободный член 12 в правую часть, изменив его знак:

$13x \le 14 - 12$

$13x \le 2$

Разделим обе части неравенства на 13:

$x \le \frac{2}{13}$

Множество решений неравенства — это все числа, которые меньше или равны $\frac{2}{13}$. Нам нужно найти наибольшее целое решение. Дробь $\frac{2}{13}$ является положительным числом, меньшим 1 (примерно 0,15). Целые числа, которые удовлетворяют условию $x \le \frac{2}{13}$, это $0, -1, -2, \ldots$. Наибольшим из этих целых чисел является 0.

Ответ: 0