Номер 24, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Делимость натуральных чисел. Признаки делимости. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 24, страница 211.

24. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a$ – чётное, $b$ – нечётное. Значение какого из данных выражений обязательно является чётным числом:

1) $a^2 + 3$; 3) $\frac{ab}{2}$;

2) $b(a + b)$; 4) $\frac{a^2}{2}$?

По условию задачи, $a$ — натуральное чётное число, а $b$ — натуральное нечётное число. Проанализируем каждое из предложенных выражений, чтобы определить, какое из них обязательно будет чётным.

1) $a^2 + 3$

Поскольку $a$ — чётное число, его квадрат $a^2$ также является чётным (произведение чётного числа на чётное). Число $3$ является нечётным. Сумма чётного и нечётного чисел всегда даёт в результате нечётное число. Следовательно, значение выражения $a^2 + 3$ всегда будет нечётным. Например, если взять $a=2$, то $a^2 + 3 = 2^2 + 3 = 4 + 3 = 7$ (нечётное).

Ответ: не является обязательно чётным.

2) $b(a + b)$

Сначала рассмотрим сумму в скобках: $a + b$. Это сумма чётного числа ($a$) и нечётного числа ($b$), результат которой всегда нечётен. Далее, мы умножаем этот нечётный результат ($a+b$) на нечётное число $b$. Произведение двух нечётных чисел всегда является нечётным числом. Следовательно, значение выражения $b(a + b)$ всегда будет нечётным. Например, если взять $a=4$ и $b=3$, то $b(a+b) = 3(4+3) = 3 \times 7 = 21$ (нечётное).

Ответ: не является обязательно чётным.

3) $\frac{ab}{2}$

Произведение чётного числа $a$ и нечётного числа $b$ всегда является чётным. Однако, чтобы определить чётность частного $\frac{ab}{2}$, необходимо рассмотреть структуру числа $a$. Любое чётное число $a$ можно представить в виде $a=2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда выражение примет вид $\frac{(2k)b}{2} = kb$. Чётность этого результата зависит от чётности множителя $k$. Так как $b$ нечётное:

• Если $k$ — нечётное (например, для $a=2$, $k=1$), то произведение $kb$ будет нечётным (нечётное $\times$ нечётное).
• Если $k$ — чётное (например, для $a=4$, $k=2$), то произведение $kb$ будет чётным (чётное $\times$ нечётное).

Поскольку результат может быть как чётным, так и нечётным, это выражение не является обязательно чётным. Например:

• Если $a=2, b=5$, то $\frac{2 \times 5}{2} = 5$ (нечётное).
• Если $a=4, b=5$, то $\frac{4 \times 5}{2} = 10$ (чётное).

Ответ: не является обязательно чётным.

4) $\frac{a^2}{2}$

Так как $a$ — чётное число, представим его в виде $a=2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда квадрат этого числа $a^2 = (2k)^2 = 4k^2$. Подставим это в наше выражение: $\frac{a^2}{2} = \frac{4k^2}{2} = 2k^2$. Выражение $2k^2$ можно записать как $2 \times k^2$. Любое целое число, умноженное на $2$, по определению является чётным. Поскольку $k$ — натуральное число, $k^2$ — также натуральное число, и, следовательно, $2k^2$ всегда будет чётным числом. Например, если взять $a=6$, то $\frac{a^2}{2} = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$ (чётное).

Ответ: является обязательно чётным.