Номер 92, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Пропорциональные величины. Процентные расчёты. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 92, страница 217.

92. Смешали $50\%$-й и $20\%$-й растворы кислоты и получили $600$ г $30\%$-го раствора. Сколько граммов каждого раствора смешали?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — масса 50%-го раствора кислоты в граммах, а $y$ — масса 20%-го раствора кислоты в граммах.

Исходя из условия, что общая масса смеси составляет 600 г, мы можем составить первое уравнение:
$x + y = 600$

Второе уравнение составим, основываясь на массе чистой кислоты. Масса кислоты в первом растворе составляет $0.5x$, во втором — $0.2y$. В итоговом 600-граммовом растворе с 30%-й концентрацией содержится $600 \times 0.3 = 180$ г кислоты. Сумма массы кислоты в исходных растворах равна массе кислоты в конечном, поэтому:
$0.5x + 0.2y = 180$

Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 600 \\ 0.5x + 0.2y = 180 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 600 - x$
Подставим это выражение во второе уравнение и решим его:
$0.5x + 0.2(600 - x) = 180$
$0.5x + 120 - 0.2x = 180$
$0.3x = 180 - 120$
$0.3x = 60$
$x = \frac{60}{0.3} = 200$
Таким образом, масса 50%-го раствора составляет 200 г.

Теперь найдем массу 20%-го раствора, подставив найденное значение $x$:
$y = 600 - 200 = 400$
Масса 20%-го раствора составляет 400 г.

Проверка:
Общая масса: $200 \text{ г} + 400 \text{ г} = 600 \text{ г}$.
Общая масса кислоты: $0.5 \times 200 \text{ г} + 0.2 \times 400 \text{ г} = 100 \text{ г} + 80 \text{ г} = 180 \text{ г}$.
Концентрация итогового раствора: $\frac{180 \text{ г}}{600 \text{ г}} \times 100\% = 0.3 \times 100\% = 30\%$.
Решение верное.

Ответ: смешали 200 г 50%-го раствора и 400 г 20%-го раствора.