Номер 3, страница 210 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Делимость натуральных чисел. Признаки делимости. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 3, страница 210.

3. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 24 и 42;

2) 18 и 30;

3) 128 и 192;

4) 328 и 624.

1) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 24 и 42, нужно разложить каждое число на простые множители.
Разложим число 24: $24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
Разложим число 42: $42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7$.
Теперь выберем общие простые множители из обоих разложений. Это 2 и 3.
Перемножив эти общие множители, получим НОД:
НОД (24; 42) = $2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6

2) Найдем НОД для чисел 18 и 30. Для этого разложим их на простые множители.
Разложим число 18: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$.
Разложим число 30: $30 = 2 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
Общими простыми множителями для 18 и 30 являются 2 и 3.
Найдем их произведение, чтобы получить НОД:
НОД (18; 30) = $2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6

3) Найдем НОД для чисел 128 и 192. Сначала разложим их на простые множители.
Разложим число 128: $128 = 2 \cdot 64 = 2 \cdot 2 \cdot 32 = 2^7$.
Разложим число 192: $192 = 2 \cdot 96 = 2 \cdot 2 \cdot 48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 24 = 2^5 \cdot 6 = 2^6 \cdot 3$.
Выберем общие множители в наименьшей степени. Общим множителем является 2. Наименьшая степень, в которой 2 входит в оба разложения, — это 6.
Следовательно, НОД (128; 192) = $2^6 = 64$.
Ответ: 64

4) Найдем НОД для чисел 328 и 624. Разложим их на простые множители.
Разложим число 328: $328 = 2 \cdot 164 = 2 \cdot 2 \cdot 82 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 41 = 2^3 \cdot 41$.
Разложим число 624: $624 = 2 \cdot 312 = 2 \cdot 2 \cdot 156 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 78 = 2^3 \cdot 78 = 2^3 \cdot 2 \cdot 39 = 2^4 \cdot 3 \cdot 13$.
Единственный общий простой множитель — это 2. Наименьшая степень, в которой он входит в оба разложения, — это 3.
Таким образом, НОД (328; 624) = $2^3 = 8$.
Ответ: 8