Страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.10. В новой квартире вкрутили 10 новых лампочек. Вероятность того, что лампочка проработает не менее года, составляет 0,9. Какова вероятность того, что в течение года придётся заменить ровно 3 лампочки?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, поскольку мы имеем дело с серией из $n$ независимых испытаний (срок службы каждой из 10 лампочек), каждое из которых имеет два возможных исхода (лампочка перегорит в течение года или нет).

Определим параметры задачи:
- Общее количество испытаний (лампочек) $n = 10$.
- Вероятность того, что одна лампочка проработает не менее года, составляет $0.9$.
- Событие, которое нас интересует, — это замена лампочки. Это произойдет, если лампочка проработает менее года. Вероятность этого события (будем считать ее "успехом") является противоположной и равна $p = 1 - 0.9 = 0.1$.
- Вероятность того, что лампочка не потребует замены (противоположное событие, или "неудача"), равна $q = 1 - p = 1 - 0.1 = 0.9$.
- Искомое количество "успехов" (лампочек, которые нужно заменить) равно $k = 3$.

Формула Бернулли для нахождения вероятности того, что в $n$ испытаниях событие с вероятностью $p$ произойдет ровно $k$ раз, выглядит следующим образом:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
где $C_n^k$ — это число сочетаний из $n$ по $k$, которое рассчитывается по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Сначала вычислим число сочетаний, то есть количество способов, которыми могут перегореть 3 лампочки из 10:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$

Теперь подставим все известные значения в формулу Бернулли:
$P_{10}(3) = C_{10}^3 \cdot (0.1)^3 \cdot (0.9)^{10-3} = 120 \cdot (0.1)^3 \cdot (0.9)^7$

Произведем расчеты:
$(0.1)^3 = 0.001$
$(0.9)^7 \approx 0.4782969$
$P_{10}(3) = 120 \cdot 0.001 \cdot 0.4782969 = 0.12 \cdot 0.4782969 \approx 0.057395628$

Округлив результат до четырех знаков после запятой, получаем искомую вероятность.

Ответ: $0.0574$

19.11. При игре в теннис Андрей в среднем выигрывает у Сергея 3 гейма из 5. Какова вероятность того, что из 6 геймов Андрей выиграет ровно 2 гейма?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая позволяет рассчитать вероятность получения ровно $k$ успехов в серии из $n$ независимых испытаний.

Формула Бернулли выглядит так: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где:
$n$ — это общее количество испытаний (в данном случае, общее число геймов);
$k$ — это желаемое число "успехов" (количество геймов, которые выиграет Андрей);
$p$ — это вероятность "успеха" в одном испытании (вероятность того, что Андрей выиграет один гейм);
$q$ — это вероятность "неудачи", то есть проигрыша, в одном испытании ($q = 1 - p$).

Исходя из условия задачи, определим значения этих переменных:
Общее число геймов: $n = 6$.
Требуемое число выигранных Андреем геймов: $k = 2$.
По условию, Андрей выигрывает в среднем 3 гейма из 5. Значит, вероятность выигрыша в одном гейме: $p = \frac{3}{5}$.
Соответственно, вероятность проигрыша в одном гейме: $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:
$P_6(2) = C_6^2 \cdot (\frac{3}{5})^2 \cdot (\frac{2}{5})^{6-2} = C_6^2 \cdot (\frac{3}{5})^2 \cdot (\frac{2}{5})^4$.

Рассчитаем каждую часть выражения по отдельности.
1. Число сочетаний $C_6^2$ (количество способов, которыми Андрей может выиграть ровно 2 гейма из 6):
$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.
2. Рассчитаем степени вероятностей:
$(\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$.
$(\frac{2}{5})^4 = \frac{16}{625}$.

Осталось перемножить полученные значения:
$P_6(2) = 15 \cdot \frac{9}{25} \cdot \frac{16}{625}$.

Выполним вычисления и упростим выражение:
$P_6(2) = \frac{15 \cdot 9 \cdot 16}{25 \cdot 625} = \frac{(3 \cdot 5) \cdot 9 \cdot 16}{(5 \cdot 5) \cdot 625} = \frac{3 \cdot 9 \cdot 16}{5 \cdot 625} = \frac{27 \cdot 16}{3125} = \frac{432}{3125}$.

Результат можно представить в виде десятичной дроби:
$\frac{432}{3125} = 0.13824$.

Ответ: $\frac{432}{3125}$ или $0.13824$.

19.12. Есть $r$ ящиков, в каждом из которых лежат $n$ чёрных и $m$ белых шаров. Из каждого ящика наугад берут по одному шару. Какова вероятность того, что среди взятых шаров будет ровно $k$ чёрных?

Данная задача описывается схемой независимых испытаний Бернулли. Каждое извлечение шара из одного из $r$ ящиков является отдельным независимым испытанием. Всего проводится $r$ таких испытаний.

Рассмотрим одно испытание: извлечение одного шара из произвольного ящика.

В каждом ящике находится $n$ чёрных и $m$ белых шаров. Общее число шаров в ящике равно $n + m$.

Вероятность извлечь чёрный шар (будем считать это «успехом») из одного ящика равна:$p = \frac{n}{n+m}$

Вероятность извлечь белый шар (будем считать это «неудачей») из одного ящика равна:$q = \frac{m}{n+m}$

Сумма этих вероятностей, как и положено, равна 1: $p + q = \frac{n}{n+m} + \frac{m}{n+m} = 1$.

Нам необходимо найти вероятность того, что в серии из $r$ испытаний произойдёт ровно $k$ успехов (будет вынуто $k$ чёрных шаров) и, соответственно, $r-k$ неудач (будет вынуто $r-k$ белых шаров).

Для этого применяется формула Бернулли:$P_r(k) = C_r^k \cdot p^k \cdot q^{r-k}$

Здесь:

• $P_r(k)$ — искомая вероятность.
• $C_r^k = \frac{r!}{k!(r-k)!}$ — число сочетаний, то есть количество способов выбрать те $k$ ящиков из $r$, из которых будут извлечены чёрные шары.
• $p^k$ — вероятность совместного наступления $k$ успехов (извлечения $k$ чёрных шаров из $k$ ящиков), так как испытания независимы.
• $q^{r-k}$ — вероятность совместного наступления $r-k$ неудач (извлечения $r-k$ белых шаров из оставшихся $r-k$ ящиков).

Подставим в формулу Бернулли найденные значения $p$ и $q$:$P_r(k) = C_r^k \left(\frac{n}{n+m}\right)^k \left(\frac{m}{n+m}\right)^{r-k}$

Упростим выражение, выполнив действия со степенями:$P_r(k) = C_r^k \frac{n^k}{(n+m)^k} \frac{m^{r-k}}{(n+m)^{r-k}} = C_r^k \frac{n^k m^{r-k}}{(n+m)^{k+(r-k)}} = C_r^k \frac{n^k m^{r-k}}{(n+m)^r}$

Данная формула справедлива для $k \in \{0, 1, ..., r\}$.

Ответ: $C_r^k \frac{n^k m^{r-k}}{(n+m)^r}$

19.13. В $r$ вагонов электрички случайным образом заходят $n$ пассажиров. Какова вероятность того, что в первом вагоне окажется $k$ из этих пассажиров?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число исходов N. У нас есть $n$ пассажиров и $r$ вагонов. Каждый из $n$ пассажиров может выбрать любой из $r$ вагонов независимо от других. Таким образом, для первого пассажира есть $r$ вариантов выбора, для второго — $r$ вариантов, и так далее до $n$-го пассажира. Общее число всех возможных способов размещения $n$ пассажиров по $r$ вагонам равно: $N = r^n$. Это число представляет собой общее количество элементарных исходов.

2. Найдем число благоприятных исходов m. Благоприятный исход — это ситуация, когда в первом вагоне оказалось ровно $k$ пассажиров. Чтобы посчитать количество таких исходов, разобьём задачу на два этапа.
Этап 1: Выбор $k$ пассажиров, которые зайдут в первый вагон. Из $n$ пассажиров нужно выбрать $k$ человек. Порядок выбора не важен, поэтому используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Этап 2: Размещение оставшихся $n-k$ пассажиров. Оставшиеся $n-k$ пассажиров должны зайти в любой из оставшихся $r-1$ вагонов (со второго по $r$-й). Каждый из этих $n-k$ пассажиров имеет $r-1$ вариант выбора. Следовательно, число способов разместить их равно $(r-1)^{n-k}$.
По правилу произведения, общее число благоприятных исходов $m$ равно произведению результатов этих двух этапов: $m = C_n^k \cdot (r-1)^{n-k}$.

3. Вычислим искомую вероятность. Теперь, когда у нас есть общее число исходов $N$ и число благоприятных исходов $m$, мы можем найти искомую вероятность, разделив $m$ на $N$: $P = \frac{m}{N} = \frac{C_n^k (r-1)^{n-k}}{r^n}$.

Эту же задачу можно решить, используя схему испытаний Бернулли. Рассмотрим выбор вагона каждым пассажиром как независимое испытание. "Успехом" будем считать, что пассажир выбрал первый вагон. Вероятность "успеха" для одного пассажира $p = \frac{1}{r}$. Вероятность "неудачи" (пассажир выбрал любой другой вагон) $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{r} = \frac{r-1}{r}$. Вероятность того, что в $n$ испытаниях будет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k} = C_n^k \left(\frac{1}{r}\right)^k \left(\frac{r-1}{r}\right)^{n-k} = C_n^k \frac{(r-1)^{n-k}}{r^n}$. Оба подхода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $P = \frac{C_n^k (r-1)^{n-k}}{r^n}$

19.14. В сборную команду России на Международной математической олимпиаде входят 6 человек. На основании выступлений российских школьников на олимпиадах прошлых лет был сделан вывод, что вероятность российского школьника получить золотую медаль на олимпиаде составляет около 65%. Оцените вероятность того, что на очередной Международной математической олимпиаде команда России завоюет не менее 5 золотых медалей.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу Бернулли, поскольку речь идет о серии независимых испытаний (выступление каждого из 6 членов команды), где каждое испытание имеет два исхода: «успех» (получение золотой медали) и «неудача».

Введем обозначения:
$n = 6$ — общее число испытаний (количество школьников в команде).
$p = 0,65$ — вероятность успеха в одном испытании (вероятность, что один школьник получит золотую медаль).
$q = 1 - p = 1 - 0,65 = 0,35$ — вероятность неудачи (вероятность, что школьник не получит золотую медаль).

Нам необходимо найти вероятность того, что команда завоюет «не менее 5 золотых медалей». Это событие означает, что команда получит либо ровно 5, либо ровно 6 медалей. Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий:
$P(k \ge 5) = P_6(5) + P_6(6)$

Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

Рассчитаем вероятность для каждого случая.

Вероятность получения ровно 5 золотых медалей ($k=5$):
$P_6(5) = C_6^5 \cdot (0,65)^5 \cdot (0,35)^{6-5} = \frac{6!}{5!1!} \cdot (0,65)^5 \cdot (0,35)^1 = 6 \cdot (0,65)^5 \cdot 0,35$
$P_6(5) \approx 6 \cdot 0,11603 \cdot 0,35 \approx 0,24366$

Вероятность получения ровно 6 золотых медалей ($k=6$):
$P_6(6) = C_6^6 \cdot (0,65)^6 \cdot (0,35)^{6-6} = \frac{6!}{6!0!} \cdot (0,65)^6 \cdot (0,35)^0 = 1 \cdot (0,65)^6 \cdot 1$
$P_6(6) \approx 0,07542$

Теперь найдем искомую вероятность, сложив полученные значения:
$P(k \ge 5) = P_6(5) + P_6(6) \approx 0,24366 + 0,07542 = 0,31908$

Округляя результат до четырех знаков после запятой, получаем примерно $0,3191$.
Ответ: Вероятность того, что команда России завоюет не менее 5 золотых медалей, составляет примерно $0,3191$ (или $31,91\%$).

19.15. Во время эпидемии гриппа вероятность того, что врач, контактирующий с больными, сам заболеет в течение недели, равна 0,08. Найдите вероятность того, что из 25 лечащих врачей поликлиники в течение недели заболеет не менее 2 человек.

Данная задача решается с использованием схемы независимых испытаний Бернулли. У нас есть $n=25$ врачей, и для каждого из них мы рассматриваем событие "врач заболеет в течение недели". Эти события независимы.

Введем следующие обозначения:

• $n = 25$ — общее число врачей (количество испытаний).
• $p = 0,08$ — вероятность того, что один врач заболеет (вероятность "успеха").
• $q = 1 - p = 1 - 0,08 = 0,92$ — вероятность того, что один врач не заболеет (вероятность "неудачи").

Нам необходимо найти вероятность события A, которое заключается в том, что "заболеет не менее 2 человек". Это означает, что число заболевших врачей $k$ может быть $k \geq 2$.

Вычислять вероятность для каждого значения $k$ от 2 до 25 и складывать их — трудоемко. Проще найти вероятность противоположного события $\overline{A}$, которое состоит в том, что заболеет менее 2 человек. Это означает, что никто не заболеет ($k=0$) или заболеет ровно один человек ($k=1$).

Вероятность искомого события A можно найти через вероятность противоположного события: $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - (P(k=0) + P(k=1))$

Вероятность того, что из $n$ испытаний произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$ где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

1. Найдем вероятность того, что никто из врачей не заболеет ($k=0$):
$P_{25}(0) = C_{25}^0 \cdot (0,08)^0 \cdot (0,92)^{25-0} = 1 \cdot 1 \cdot (0,92)^{25} = (0,92)^{25}$

2. Найдем вероятность того, что заболеет ровно один врач ($k=1$):
$P_{25}(1) = C_{25}^1 \cdot (0,08)^1 \cdot (0,92)^{25-1} = 25 \cdot 0,08 \cdot (0,92)^{24} = 2 \cdot (0,92)^{24}$

3. Найдем вероятность противоположного события $P(\overline{A})$:
$P(\overline{A}) = P_{25}(0) + P_{25}(1) = (0,92)^{25} + 2 \cdot (0,92)^{24}$
Вынесем общий множитель $(0,92)^{24}$ за скобки:
$P(\overline{A}) = (0,92)^{24} \cdot (0,92 + 2) = 2,92 \cdot (0,92)^{24}$
Теперь вычислим приближенное значение:
$(0,92)^{24} \approx 0,13695$
$P(\overline{A}) \approx 2,92 \cdot 0,13695 \approx 0,399906$

4. Найдем искомую вероятность $P(A)$:
$P(A) = 1 - P(\overline{A}) \approx 1 - 0,399906 = 0,600094$

Округляя результат до четырех знаков после запятой, получаем 0,6001.

Ответ: $0,6001$

19.16. Гроссмейстер проводит сеанс одновременной игры в шахматы на 40 досках. Вероятность того, что гроссмейстер выиграет каждую отдельную партию, равна 97%. Какова вероятность того, что в сеансе гроссмейстер выиграет не менее 38 партий?

Данная задача описывает серию независимых испытаний (партий в шахматы), поэтому для ее решения используется формула Бернулли. Каждая партия — это одно испытание.

Определим параметры задачи:

$n = 40$ — общее количество испытаний (партий).

$p = 0.97$ — вероятность "успеха", то есть выигрыша гроссмейстера в одной отдельно взятой партии.

$q = 1 - p = 1 - 0.97 = 0.03$ — вероятность "неудачи", то есть того, что гроссмейстер не выиграет партию (сыграет вничью или проиграет).

Нам необходимо найти вероятность события A = "гроссмейстер выиграет не менее 38 партий". Это означает, что число выигранных партий $k$ может быть равно 38, 39 или 40. Поскольку эти три исхода являются несовместными событиями (не могут произойти одновременно), искомая вероятность равна сумме их вероятностей:

$P(A) = P(k=38) + P(k=39) + P(k=40)$

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Рассчитаем вероятность для каждого случая по отдельности.

1. Вероятность того, что гроссмейстер выиграет ровно 38 партий ($k=38$):

Число сочетаний:

$C_{40}^{38} = \frac{40!}{38!(40-38)!} = \frac{40 \cdot 39}{2 \cdot 1} = 780$

Вероятность:

$P(k=38) = C_{40}^{38} \cdot (0.97)^{38} \cdot (0.03)^{2} = 780 \cdot (0.97)^{38} \cdot 0.0009$

$P(k=38) \approx 780 \cdot 0.315353 \cdot 0.0009 \approx 0.22121$

2. Вероятность того, что гроссмейстер выиграет ровно 39 партий ($k=39$):

Число сочетаний:

$C_{40}^{39} = \frac{40!}{39!(40-39)!} = 40$

Вероятность:

$P(k=39) = C_{40}^{39} \cdot (0.97)^{39} \cdot (0.03)^{1} = 40 \cdot (0.97)^{39} \cdot 0.03$

$P(k=39) \approx 40 \cdot 0.305892 \cdot 0.03 \approx 0.36707$

3. Вероятность того, что гроссмейстер выиграет все 40 партий ($k=40$):

Число сочетаний:

$C_{40}^{40} = 1$

Вероятность:

$P(k=40) = C_{40}^{40} \cdot (0.97)^{40} \cdot (0.03)^{0} = 1 \cdot (0.97)^{40} \cdot 1$

$P(k=40) \approx 0.29672$

Теперь сложим полученные вероятности, чтобы найти итоговую вероятность события A:

$P(A) \approx 0.22121 + 0.36707 + 0.29672 \approx 0.885$

Ответ: $0.885$

19.17. Решите неравенство:

1) $|x^2 + 3x| < x + 4;$

2) $|x^2 + 3x| \ge 2 - x^2.$

1)

Решим неравенство $|x^2 + 3x| < x + 4$.

Данное неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств. Во-первых, правая часть должна быть строго больше нуля, так как модуль — неотрицательная величина. Во-вторых, выражение под модулем должно быть в границах от $-g(x)$ до $g(x)$.

$$ \begin{cases} x + 4 > 0 \\ x^2 + 3x < x + 4 \\ x^2 + 3x > -(x + 4) \end{cases} $$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. $x + 4 > 0 \implies x > -4$.

2. $x^2 + 3x < x + 4 \implies x^2 + 2x - 4 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 4 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + 2x - 4$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 2x - 4 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})$.

3. $x^2 + 3x > -(x + 4) \implies x^2 + 3x > -x - 4 \implies x^2 + 4x + 4 > 0$.
Выражение в левой части является полным квадратом: $(x + 2)^2 > 0$.
Это неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме того случая, когда $x + 2 = 0$, то есть $x \neq -2$.

Теперь найдем пересечение (общее решение) для всех трех условий:
1) $x \in (-4, \infty)$
2) $x \in (-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})$
3) $x \neq -2$
Оценим значения корней: $\sqrt{5} \approx 2.236$. Тогда $-1 - \sqrt{5} \approx -3.236$ и $-1 + \sqrt{5} \approx 1.236$.
Интервал $(-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})$ полностью содержится в интервале $(-4, \infty)$.
Точка $x = -2$ находится внутри интервала $(-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})$, так как $-3.236 < -2 < 1.236$.
Следовательно, мы должны исключить эту точку из интервала решения второго неравенства.

Объединяя все условия, получаем итоговое решение: $x \in (-1 - \sqrt{5}, -2) \cup (-2, -1 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(-1 - \sqrt{5}, -2) \cup (-2, -1 + \sqrt{5})$.

2)

Решим неравенство $|x^2 + 3x| \ge 2 - x^2$.

Неравенство вида $|f(x)| \ge g(x)$ равносильно совокупности (объединению) двух неравенств:

$$ \begin{bmatrix} x^2 + 3x \ge 2 - x^2 \\ x^2 + 3x \le -(2 - x^2) \end{bmatrix} $$

Решим каждое неравенство совокупности.

1. $x^2 + 3x \ge 2 - x^2 \implies 2x^2 + 3x - 2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 2 = 0$ через дискриминант:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$.
$x_1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$, $x_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ветви параболы $y = 2x^2 + 3x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство $2x^2 + 3x - 2 \ge 0$ выполняется при значениях $x$ не между корнями, включая сами корни: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{1}{2}, \infty)$.

2. $x^2 + 3x \le -(2 - x^2) \implies x^2 + 3x \le -2 + x^2$.
$3x \le -2$
$x \le -\frac{2}{3}$.
Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}]$.

Решением исходного неравенства является объединение множеств решений, полученных в пунктах 1 и 2.
Объединим $(-\infty, -2] \cup [\frac{1}{2}, \infty)$ и $(-\infty, -\frac{2}{3}]$.
Так как $-2 < -\frac{2}{3}$, то множество $(-\infty, -2]$ является подмножеством $(-\infty, -\frac{2}{3}]$.
Объединение этих двух множеств дает большее из них, то есть $(-\infty, -\frac{2}{3}]$.
Теперь объединим полученное множество с оставшейся частью решения из первого пункта: $(-\infty, -\frac{2}{3}] \cup [\frac{1}{2}, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -\frac{2}{3}] \cup [\frac{1}{2}, \infty)$.

19.18. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x^2 + 5x} < \sqrt{1 - x^2 + 4x};$

2) $\sqrt{\frac{2x - 3}{4x - 1}} \ge \sqrt{\frac{x - 2}{x + 2}}.$

1) Решим неравенство $\sqrt{x^2 + 5x} < \sqrt{1 - x^2 + 4x}$.

Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренное выражение левой части неотрицательно, а подкоренное выражение правой части строго больше, чем левой. Условие неотрицательности правой части ($1 - x^2 + 4x \ge 0$) выполняется автоматически, так как она больше неотрицательного выражения.

$$ \begin{cases} x^2 + 5x \ge 0 \\ 1 - x^2 + 4x > x^2 + 5x \end{cases} $$

Решим первое неравенство системы: $x^2 + 5x \ge 0$. Разложив на множители, получаем $x(x+5) \ge 0$. Корнями соответствующего уравнения $x(x+5)=0$ являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 0$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -5] \cup [0, \infty)$.

Решим второе неравенство системы: $1 - x^2 + 4x > x^2 + 5x$. Перенесем все члены в правую часть: $0 > 2x^2 + x - 1$, или $2x^2 + x - 1 < 0$. Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. Корни: $x_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$, $x_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $2x^2 + x - 1 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-1, \frac{1}{2})$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, -5] \cup [0, \infty)$ и $(-1, \frac{1}{2})$. Пересечением этих множеств является промежуток $[0, \frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in [0, \frac{1}{2})$.

2) Решим неравенство $\sqrt{\frac{2x - 3}{4x - 1}} \ge \sqrt{\frac{x - 2}{x + 2}}$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренное выражение правой части неотрицательно, а подкоренное выражение левой части не меньше, чем правой. Условие неотрицательности левой части ($\frac{2x - 3}{4x - 1} \ge 0$) выполняется автоматически, так как $f(x) \ge g(x)$ и $g(x) \ge 0$.

$$ \begin{cases} \frac{x - 2}{x + 2} \ge 0 \\ \frac{2x - 3}{4x - 1} \ge \frac{x - 2}{x + 2} \end{cases} $$

Решим первое неравенство системы (которое задает область определения): $\frac{x - 2}{x + 2} \ge 0$. Методом интервалов находим, что нуль числителя $x=2$ (включается в решение), нуль знаменателя $x=-2$ (исключается). Решением является объединение промежутков $x \in (-\infty, -2) \cup [2, \infty)$.

Решим второе неравенство системы: $\frac{2x - 3}{4x - 1} - \frac{x - 2}{x + 2} \ge 0$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{(2x - 3)(x + 2) - (x - 2)(4x - 1)}{(4x - 1)(x + 2)} \ge 0 $$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$$ \frac{(2x^2 + 4x - 3x - 6) - (4x^2 - x - 8x + 2)}{(4x - 1)(x + 2)} \ge 0 $$

$$ \frac{2x^2 + x - 6 - 4x^2 + 9x - 2}{(4x - 1)(x + 2)} \ge 0 $$

$$ \frac{-2x^2 + 10x - 8}{(4x - 1)(x + 2)} \ge 0 $$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$$ \frac{2x^2 - 10x + 8}{(4x - 1)(x + 2)} \le 0 $$

Разделим числитель на 2 и разложим его на множители: $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$. Неравенство примет вид:

$$ \frac{(x-1)(x-4)}{(4x - 1)(x + 2)} \le 0 $$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя (включаются в решение): $x=1, x=4$. Корни знаменателя (исключаются): $x=-2, x=1/4$. Нанеся точки на числовую ось и определив знаки на интервалах, получим решение: $x \in (-2, 1/4) \cup [1, 4]$.

В завершение найдем пересечение решений обоих неравенств системы: $(-\infty, -2) \cup [2, \infty)$ и $(-2, 1/4) \cup [1, 4]$. Пересечением этих двух множеств является промежуток $[2, 4]$.

Ответ: $x \in [2, 4]$.